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《数学分析原理》旁注(中)

第7章 (2008.11.28)

7.1:看来这章的主要问题是在数列与级数中引入变量x,研究极限确定的函数f(x)的性质。

7.2-7.6:举例逐条说明了:调换两个极限的先后会导致收敛到不同的值,连续函数的收敛级数可以有不连续的和,连续函数的极限函数可以处处间断(Dirichlet函数的解析表示),连续函数的微分与积分的极限与其极限函数的微分和积分可能不同。

7.7:“连续”“收敛”等概念都是由极限定义的,在前面加修饰“一致”的意思就是说,ε-N定义中的N不依赖于自变量x。

7.11:如果函数列是一致收敛的,两个极限就可调换。推论是,连续函数的序列,若一致收敛到f,则f是连续的。

7.16:如果函数列是一致收敛的,极限与积分号就可调换。推论是,一致收敛的函数列级数可逐项积分。

7.17:在闭区间上,极限与微分号可调换,不仅需要函数列一致收敛,还需在此闭区间上有某点x_0使{f_n(x_0)}收敛。

7.19以下的都没看下去。

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