Skip to content

《数学:它的内容,方法和意义》第二章旁注

§3:P99,无穷小量定义。P101,微分学的基本问题:两个无穷小量之比的极限。P103,单调有界定理,由实数理论得出,证明极限存在(,夹逼定理)。

§4:P103,连续的定义。P109,黎曼函数

§5:P112,导数的定义与记号。P116,导数存在即称可微[分],初等函数的微分公式。

§6:P119,微分四则运算法则的证明。P121,反函数的微分。P122,复合函数的微分(严格证明?)。P124,初等函数的定义及其微分的[机械]求法。(处处连续但处处不可微的函数

§7:P126,连续函数在闭区间内必存在最值——端点、不连续点、导数为0的点。P130,二阶导数的意义,曲线的凹凸,判断[一阶]导数为0的点的极大极小性。

§8:P135~136,定义相对于自变量增量Δx的函数增量Δy=f(x+Δx)-f(x),有Δy=f’(x)Δx+αΔx,且α与Δx同趋于0;将其中的与增量Δx相对应的微分记作dy=f’(x)Δx;实践中将微分作为函数增量的近似式,为对称起见记为dy=f’(x)dx(,似乎可将它作为dy的“定义”);导数既是函数微分与自变量微分之比。P138,中值定理,f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a);构造函数应用中值定理可证:(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(ξ)/g’(ξ),可推得洛比达法则。

§9:泰勒公式[,可用于近似计算]:f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}(,拉格朗日余项);取泰勒公式的无穷形式,并令a=0,可将函数展开成泰勒级数,例子包括(1+x)^n、sin x、cos x、e^x、arctan x的泰勒级数。

Post a Comment

Your email is never published nor shared. Required fields are marked *
*
*