LCA问题

LCA 问题，即 Least Common Ancestors（最近公共祖先）的意思是：给定一有根树，求其两个节点最近的公共祖先；节点的祖先即从节点至根的路径上的节点的集合。

LCA 问题可以转化为 RMQ 问题求解，方法是：从根开始对树进行一次深度优先遍历，每次沿一条边到达另一节点时记录下节点的深度，这样就得到一个序列；对于问题中的两个节点，以它们的首次出现为两端的子序列中的最小值就是最近公共祖先。规模为n的 LCA 经过转化变成了规模为2n-1的 RMQ，渐进复杂度不变，然后就可以使用 RMQ 的各种方法来解答。

但是即便LCA转换成了RMQ，比较好写的ST之类方法还是O(nlogn)的，在竞赛中更好用的似乎是 Tarjan 的 O(nα(n)) 的离线算法。算法用到了并查集，在对树的一次深度优先遍历后完成，方法大致是这样的：每次访问到一个节点，对它建立一个并查集，设定它的祖先为自己；访问它的每个子节点，并在每次访问结束后设儿子的并查集的代表顶点的祖先为自己；将自己标记为黑色，对于每个与它有关的问题，若另一节点也为黑色，则这个问题的答案就是另一节点所在的并查集的代表顶点的祖先。

至于RMQ转换成LCA其实也简单，要将原数组转换成听上去有点神秘的“Cartesian Tree”（笛卡尔树）。所谓Cartesian Tree，是一个二叉树，每个节点的值大于子节点（堆序），节点的中序遍历满足原数组顺序（排序二叉树）。看到这儿我明白了——这不就一Treap么……当然，我们是不用挨个插入 Treap 的O(nlogn) 算法的。是采用自数组从左向右扫描，每次的新数沿着旧树的右路径上升至不能上升。每个节点进入和退出右路径最多一次，所以是均摊 O(n) 的。呵呵，说起来简单，我还没实现过这个呢，什么时候真闲得慌了可以写写玩玩。

LCA 的 Tarjan 算法示例程序：
ural1471.cpp