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Tag Archives: 书籍

这个寒假读的书及其它

今天,我回到了浙大,我把这算成寒假的结束。上个学期最后一门考试的前一天拿到了一台 Kindle DX,于是这个假期的所有书都是在这台 Kindle 上读的,大致按照读完的顺序如下: 周国平《尼采:在世纪的转折点上》 The Power of Less (Leo Babarta) 陈冠中《盛世》 《中国健康调查报告》 Outliers (Malcolm Gladwell) Programming in Scala A Rulebook for Arguments (Anthony Weston) 罗素《西方哲学史》卷一 四本中文书,四本英文书。有小说,有编程,有成功学,有哲学史,有健康指南,有批判思维。虽然数量不算多,不过我相信这是一段富有平衡性、充满营养的阅读体验。这些书读的时候多少都做了一些摘抄、提纲和感悟之类的文字,在此就对每本书做个简短的的读后总结吧。 周国平的《尼采》一书是在ASES读书会中了解到的。我喜欢周国平写的尼采,类似于我欣赏钱穆书中的孔子。钱穆以儒家信徒乃至道统传人的信念写《论语新解》,自然将论语的妙处诠释得淋漓尽致,读者也最能从中受益。(插一句广告,我一直坚定地认为钱穆《论语新解》是用来了解论语以及儒学的最好的入门读物,在此郑重推荐。)我无旁据地揣测,写此书时的周国平必自认为尼采的信徒(虽然不一定会公开承认这一点),而这个角度的介绍,是追求他山之石而非价值判断的我所乐于阅读的。 Leo Babarta 是我订阅了一段时间的英文 blogger,于是它的书 The Power of Less 的英文电子版躺在我硬盘里好久了。真正在 Kindle Store 里买了并从头到尾阅读一遍才如梦初醒,书中完全点明了我拖了那么长时间没抽出空来读它的症结。我非常庆幸能在寒假的开始以及一年的开始时读到这本书,其中的精神整个改变了我的寒假计划,我想也会改变我接下来一年的安排。这本书好像也刚出了中文版,强烈推荐给每个像我一样对“more”有着不懈追求的人。 《盛世》这本书我看的是 Twitter 上分享的陈冠中先生亲自校对和分享的盗版PDF。依我的理解,它从纯粹文学的角度看不算是第一流的小说艺术。对其思想性不评价,主要是因为觉得自己没那个能耐去评价吧。 会去看《中国健康调查报告》这本书是因为有践行书中建议的素食饮食习惯的朋友的推荐。读之前特意在 Google Scholar 里输入了作者的名字,发现确实是个学术大牛,才放心地读了下去。我承认书里的论据和结论都是非常有说服力的。这促使我在过年前的某一天中午对抢我的Kindle看了这书的一部分的我妈说,今天中午吃一顿素食吧。这顿素食带来的后果是我在几个小时之后窜到厨房里对正在准备晚餐的我妈大声喊:“我要吃肉!我要吃肉!”于是这本差不多是素食主义者的圣经的书遇上我这个打小无肉不欢的家伙就完全没起任何作用。嗯……应该说这本书还是带来了一些让我在四十岁或者更老的时候转向素食主义的可能性,至于现在就算了吧…… Malcolm Gladwell 写的 Outliers 一书的副标题是 The Story […]

《数学分析原理》旁注(上)

注:凡“旁注”性质的笔记,都是无规划不成系统的读书随想。尤其与我大多数短篇的读书笔记一样,并不求别人也看懂。 第1章 (2008.11.16) 1.24:引入复数的一切都很完美,只是这个乘法的定义还是略显突兀。能否通过M1~M5以及零元、幺元等内容将这个定义更顺畅地推导或引入呢?换句话说,有了很自然的加法的定义,要满足(1,0)为幺元以及M1~M5,有了这些条件能否得出“合理”的乘法定义有哪些?于是就是函数方程了。如果这是唯一满足的定义那就完美了,不过我的推测是:它是函数方程所有解中明显、特殊、或朴素的一个。 1.35:又是那种“神来之笔”的证明……怎样理解这优美的构造? 1.A.9:任何两个具有最小上界性的有序域同构。我会找到它的证明。 第2章 (2008.11.17) 这章的目的为何?完全不明白,也没办法搞清定理之间的联系。 2.12:可数个可数集的并是可数集。 2.23:所以同为开集与闭集的集就仅有空集和全集。 2.23:紧集,对于集合的每个开覆盖,存在一个有限子集也是开覆盖。 2.44:Cantor集的概念。 第3章 (2008.11.17) 这章的目的应该是判断及求得数列以及级数的极限。 3.1:极限的概念可以直接在度量空间中定义。 3.21:定理能按数列与级数两种语言来叙述与应用。 3.27:正项不增序列a_i的级数收敛当且仅当2^k a_{2^k}的级数收敛。这可以用相对很稀疏的项判断级数的收敛性。 3.38:幂级数的收敛圆(由根值法推出)。 3.42:∑a_n有界,b_n单调递减到0,∑a_n b_n收敛。(分部法)推论:交错递减则收敛。 3.47:级数乘积的定义有卷积的味道。 3.53:对(收敛但非绝对收敛的)级数重排会改变收敛的值!奇妙…… 数列:单调有界定理,比较法,Cauchy准则。 级数:比较法,3.27,另一种形式叙述的Cauchy准则,比率法与根值法(3.37说明前者有效的后者一定有效),收敛半径,分部法及推论。 第4章 (2008.11.18) 4.8:函数 f: X->Y 连续,当且仅当对于Y的每个开集V,f-1(V)是是X中的开集。(由于开集的补集是闭集,所以叙述中可以换成闭集。) 4.18:一致连续是函数(在某个定义域上)的性质,而连续是函数在点上的性质。然而在紧集上,这两个概念等价。 4.23:函数的连续性保持定义域的连通性。 这章应该是探讨了函数的连续性与第2章中集合的特性的关系。2、4两章应该都是构建后文微分、积分理论大厦的基石与原材料。 第5章 (2008.11.19) 5.9:直接证一般中值定理,很赞。 5.12:导函数可以不连续,但不能有第一类间断,且在区间内能像连续函数一样取到所有中间值。 5.13:L’Hospital法则的证明,看上去很不直观。Wikipedia上的证明似乎更优美。 5.15:这个证Taylor定理/Lagrange余项的方法简洁得很诡异,其实没看懂……Wikipedia上的先证integral reminder再用积分中值定理直接得到Lagrange reminder的方法直接且精炼。 第6章 (2008.11.20-21) 6.1:这个定义与Wikipedia上的Darboux integral完全相同。上积分、下积分——它们必定存在,可积性便等价于二者是否相等——于我是新鲜的概念。以下便用这些定义(还有一个“加细”)证明了若干关于可积性的性质。 6.2:在概念中增添“-Stieltjes”之后,让关于x的Riemann积分可以关于任意函数α(x),扩充的要点是,α不必可导,甚至不必连续。 6.15:有点绕……第一遍没看明白。不过的确是一下子让人发现Riemann-Stieltjes对于Riemann的扩充,然后函数值、级数(6.16)都可用一个Riemann-Stieltjes积分来表示,6.18是点出本质的总结。 6.20-21:微积分基本定理的两部分。我总是觉得Wikipedia上的证明一下子就能看懂,这书故作高深的倾向却要让人看很久才知道他是怎么证出来的……这种从定义就开始“立意求高”类似于“伤人乎不?问马。”,教材中的例子有萧树铁的《大学数学——代数与几何》中对行列式的定义。这样的教材的确有境界,不过最好还是借助大众化的Wikipedia补充一下。

《简明数论》的简明笔记(中):13~21节

Euler函数φ(m),定义,积性不完全; ; ; 。 用积性证很简单;证明二:按与m的最大公约数分类。 f(n)的Mobius变换:; Mobius逆变换:; 以上两式等价,f(n)与F(n)的积性也等价。 f与g的Dirichlet卷积:,h保持f与g的积性。 同余: a对模m的最小非负剩余、绝对最小剩余; 同余式是等价关系;同余式可加减乘;ca≡cb (mod m)等价于a≡b (mod m/(c,m) ); 对模m的逆的定义。 同余类、完全剩余系定义; 既约剩余系包含的同余类个数即φ(m)。 (a,m)=1时,x遍历m的完全/既约剩余系当且仅当ax遍历m的完全/既约剩余系。 用这个可轻松证明Fermat-Euler定理。 Wilson定理,即(p-1)! ≡ -1 (mod p)。 证:除了-1外,其它因子可与(不相等的)逆元配对抵消。 即,p的既约剩余系的积模p得-1。 扩展:p可换成pk,2pk(这两者p是奇素数)。 事实上,r不取1,2,4,pk,2pk时,r的既约剩余系的积模r得1。 ax≡b (mod m) 型的同余方程。 (a,m)|b 是有解的充要条件,解有(a,m)个。 可求a对m的所有逆元。 注意到一个解是 ,也可用扩展欧几里德求特解。 所有解是,其中0<=t<(a,m)。 形如的一次同余方程组。 若{m_i}两两既约,则解数必为1(中国剩余定理)。 解为。 其中,。 当a_i分别遍历m_i的完全/既约剩余系时,x遍历m的完全/既约剩余系。 若{m_i}并非两两既约,例如(m_i,m_j)=a时,可将模m_i与m_j的两个方程化成模a、m_i/a、m_j/a的三个方程。 编程时,直接化为若干个模p^k的方程似更简便,其中p^k || [m_1,m_2,...,m_i,...]。 f(x)≡0 (mod n) 的解数设为 T(f;n),则T(f;n)是关于n的积性函数。 […]

《数学:它的内容,方法和意义》第二章旁注

§3:P99,无穷小量定义。P101,微分学的基本问题:两个无穷小量之比的极限。P103,单调有界定理,由实数理论得出,证明极限存在(,夹逼定理)。 §4:P103,连续的定义。P109,黎曼函数。 §5:P112,导数的定义与记号。P116,导数存在即称可微[分],初等函数的微分公式。 §6:P119,微分四则运算法则的证明。P121,反函数的微分。P122,复合函数的微分(严格证明?)。P124,初等函数的定义及其微分的[机械]求法。(处处连续但处处不可微的函数) §7:P126,连续函数在闭区间内必存在最值——端点、不连续点、导数为0的点。P130,二阶导数的意义,曲线的凹凸,判断[一阶]导数为0的点的极大极小性。 §8:P135~136,定义相对于自变量增量Δx的函数增量Δy=f(x+Δx)-f(x),有Δy=f’(x)Δx+αΔx,且α与Δx同趋于0;将其中的与增量Δx相对应的微分记作dy=f’(x)Δx;实践中将微分作为函数增量的近似式,为对称起见记为dy=f’(x)dx(,似乎可将它作为dy的“定义”);导数既是函数微分与自变量微分之比。P138,中值定理,f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a);构造函数应用中值定理可证:(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(ξ)/g’(ξ),可推得洛比达法则。 §9:泰勒公式[,可用于近似计算]:(,拉格朗日余项);取泰勒公式的无穷形式,并令a=0,可将函数展开成泰勒级数,例子包括(1+x)^n、sin x、cos x、e^x、arctan x的泰勒级数。

《简明数论》的简明笔记(上):1~12节

按:数论貌似是我目前还接触太少的领域,遵从vls的推荐借了北大出版社的《简明数论》来浏览,还是很好玩儿的……下面是从中总结的一些比较新鲜的结论。 {a_i} 的最大公约数等于 {a_i} 的所有整系数线性组合组成的集合中的最小正整数; 事实上,被最大公约数整除,等价于能表示成整系数线性组合。 一次不定方程 ∑a_i*x_i=c 有解的充要条件是 c|({a_i}); 解一次不定方程的算法(待实现)。 x^2+y^2=z^2 的本原解:x=r^2-s^2, y=2rs, z=r^2+s^2; 其中r>s>0, (s,r)=1, 2不整除r+s; 等价地刻画了单位圆周上的有理点。 Chebyshev不等式:,; 其实重点在于:O(π(x))=x/log x,O(p_n)=n log n。 (π(x)即不大于x的素数个数;p_n即第n个素数。) 数论函数:[完全]积性函数的充要条件; 除数和函数; F(n)=∑_{d|n}f(d) 保持f(n)的积性。(除数即Divisor) Mobius函数:; 事实上与容斥原理很有关联; 引理: 集合A中与K互质的元素个数,其中A_d是A中被d整除的子集; 将A取不超过x的实数,K取不超过的所有素数的乘积,可得,这样可以在已知不超过的素数的前提下求π(x)。 从算法的角度看似无意义?