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Tag Archives: 数学分析

《数学分析原理》旁注(中)

第7章 (2008.11.28) 7.1:看来这章的主要问题是在数列与级数中引入变量x,研究极限确定的函数f(x)的性质。 7.2-7.6:举例逐条说明了:调换两个极限的先后会导致收敛到不同的值,连续函数的收敛级数可以有不连续的和,连续函数的极限函数可以处处间断(Dirichlet函数的解析表示),连续函数的微分与积分的极限与其极限函数的微分和积分可能不同。 7.7:“连续”“收敛”等概念都是由极限定义的,在前面加修饰“一致”的意思就是说,ε-N定义中的N不依赖于自变量x。 7.11:如果函数列是一致收敛的,两个极限就可调换。推论是,连续函数的序列,若一致收敛到f,则f是连续的。 7.16:如果函数列是一致收敛的,极限与积分号就可调换。推论是,一致收敛的函数列级数可逐项积分。 7.17:在闭区间上,极限与微分号可调换,不仅需要函数列一致收敛,还需在此闭区间上有某点x_0使{f_n(x_0)}收敛。 7.19以下的都没看下去。

《数学分析原理》旁注(上)

注:凡“旁注”性质的笔记,都是无规划不成系统的读书随想。尤其与我大多数短篇的读书笔记一样,并不求别人也看懂。 第1章 (2008.11.16) 1.24:引入复数的一切都很完美,只是这个乘法的定义还是略显突兀。能否通过M1~M5以及零元、幺元等内容将这个定义更顺畅地推导或引入呢?换句话说,有了很自然的加法的定义,要满足(1,0)为幺元以及M1~M5,有了这些条件能否得出“合理”的乘法定义有哪些?于是就是函数方程了。如果这是唯一满足的定义那就完美了,不过我的推测是:它是函数方程所有解中明显、特殊、或朴素的一个。 1.35:又是那种“神来之笔”的证明……怎样理解这优美的构造? 1.A.9:任何两个具有最小上界性的有序域同构。我会找到它的证明。 第2章 (2008.11.17) 这章的目的为何?完全不明白,也没办法搞清定理之间的联系。 2.12:可数个可数集的并是可数集。 2.23:所以同为开集与闭集的集就仅有空集和全集。 2.23:紧集,对于集合的每个开覆盖,存在一个有限子集也是开覆盖。 2.44:Cantor集的概念。 第3章 (2008.11.17) 这章的目的应该是判断及求得数列以及级数的极限。 3.1:极限的概念可以直接在度量空间中定义。 3.21:定理能按数列与级数两种语言来叙述与应用。 3.27:正项不增序列a_i的级数收敛当且仅当2^k a_{2^k}的级数收敛。这可以用相对很稀疏的项判断级数的收敛性。 3.38:幂级数的收敛圆(由根值法推出)。 3.42:∑a_n有界,b_n单调递减到0,∑a_n b_n收敛。(分部法)推论:交错递减则收敛。 3.47:级数乘积的定义有卷积的味道。 3.53:对(收敛但非绝对收敛的)级数重排会改变收敛的值!奇妙…… 数列:单调有界定理,比较法,Cauchy准则。 级数:比较法,3.27,另一种形式叙述的Cauchy准则,比率法与根值法(3.37说明前者有效的后者一定有效),收敛半径,分部法及推论。 第4章 (2008.11.18) 4.8:函数 f: X->Y 连续,当且仅当对于Y的每个开集V,f-1(V)是是X中的开集。(由于开集的补集是闭集,所以叙述中可以换成闭集。) 4.18:一致连续是函数(在某个定义域上)的性质,而连续是函数在点上的性质。然而在紧集上,这两个概念等价。 4.23:函数的连续性保持定义域的连通性。 这章应该是探讨了函数的连续性与第2章中集合的特性的关系。2、4两章应该都是构建后文微分、积分理论大厦的基石与原材料。 第5章 (2008.11.19) 5.9:直接证一般中值定理,很赞。 5.12:导函数可以不连续,但不能有第一类间断,且在区间内能像连续函数一样取到所有中间值。 5.13:L’Hospital法则的证明,看上去很不直观。Wikipedia上的证明似乎更优美。 5.15:这个证Taylor定理/Lagrange余项的方法简洁得很诡异,其实没看懂……Wikipedia上的先证integral reminder再用积分中值定理直接得到Lagrange reminder的方法直接且精炼。 第6章 (2008.11.20-21) 6.1:这个定义与Wikipedia上的Darboux integral完全相同。上积分、下积分——它们必定存在,可积性便等价于二者是否相等——于我是新鲜的概念。以下便用这些定义(还有一个“加细”)证明了若干关于可积性的性质。 6.2:在概念中增添“-Stieltjes”之后,让关于x的Riemann积分可以关于任意函数α(x),扩充的要点是,α不必可导,甚至不必连续。 6.15:有点绕……第一遍没看明白。不过的确是一下子让人发现Riemann-Stieltjes对于Riemann的扩充,然后函数值、级数(6.16)都可用一个Riemann-Stieltjes积分来表示,6.18是点出本质的总结。 6.20-21:微积分基本定理的两部分。我总是觉得Wikipedia上的证明一下子就能看懂,这书故作高深的倾向却要让人看很久才知道他是怎么证出来的……这种从定义就开始“立意求高”类似于“伤人乎不?问马。”,教材中的例子有萧树铁的《大学数学——代数与几何》中对行列式的定义。这样的教材的确有境界,不过最好还是借助大众化的Wikipedia补充一下。