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Tag Archives: 数学

《数学分析原理》旁注(中)

第7章 (2008.11.28) 7.1:看来这章的主要问题是在数列与级数中引入变量x,研究极限确定的函数f(x)的性质。 7.2-7.6:举例逐条说明了:调换两个极限的先后会导致收敛到不同的值,连续函数的收敛级数可以有不连续的和,连续函数的极限函数可以处处间断(Dirichlet函数的解析表示),连续函数的微分与积分的极限与其极限函数的微分和积分可能不同。 7.7:“连续”“收敛”等概念都是由极限定义的,在前面加修饰“一致”的意思就是说,ε-N定义中的N不依赖于自变量x。 7.11:如果函数列是一致收敛的,两个极限就可调换。推论是,连续函数的序列,若一致收敛到f,则f是连续的。 7.16:如果函数列是一致收敛的,极限与积分号就可调换。推论是,一致收敛的函数列级数可逐项积分。 7.17:在闭区间上,极限与微分号可调换,不仅需要函数列一致收敛,还需在此闭区间上有某点x_0使{f_n(x_0)}收敛。 7.19以下的都没看下去。

《简明数论》的简明笔记(下)

x²≡d (mod p)的问题。 ax²+bx+c≡0 (mod p)可通过配方转化。 (2ax+b)²≡b²-4ac(mod p) d是p的二次剩余当且仅当方程有解,否则为二次非剩余。 既约剩余系中恰有(p-1)/2个二次剩余和(p-1)/2二次非剩余。 d是二次剩余当且仅当d(p-1)/2≡1 (mod p),否则模为-1。 于是两二次剩余或两二次非剩余的积为二次剩余,二次剩余与非剩余的积为二次非剩余。 Legendre符号当d是p的二次剩余、非剩余及p|d时分别取值1、-1、0。 Gauss二次互反律的主要应用似乎是用来简化及计算Legendre符号的值,以求解二次同余方程。 但在编程中可直接利用来计算,复杂度是相同的。 Jacobi符号具有与Legendre符号相同的互反律,但似乎就与二次同余方程没什么关系了,目前还没看到应用。 关于同余方程的Lagrange定理的内容是同余方程的解数不超过它的次数。 可用归纳法证明,很优雅。 n次同余方程有n个解,当且仅当f(x)的次数小于等于p,且f(x)除xp-x所得的余式模p恒等于0。 对于次数大于p的高次同余方程,总存在一个次数不大于p、首项系数为1的等价同余方程,即是xp-x除f(x)所得的余式(再将首项系数化为1)。 例外是余式模p恒等于0,不妨认为此时的等价同余方程就是xp-x。 事实上,简化高次同余方程也可避免做多项式除法,可用Fermat小定理xp≡x (mod p)直接降低次数。 模为素数幂的同余方程的解法看上去很强大,但是前提是需要先解出模为素数的同余方程啊!难道除了直接验证没什么通用的解法?26节先放下。

《数学分析原理》旁注(上)

注:凡“旁注”性质的笔记,都是无规划不成系统的读书随想。尤其与我大多数短篇的读书笔记一样,并不求别人也看懂。 第1章 (2008.11.16) 1.24:引入复数的一切都很完美,只是这个乘法的定义还是略显突兀。能否通过M1~M5以及零元、幺元等内容将这个定义更顺畅地推导或引入呢?换句话说,有了很自然的加法的定义,要满足(1,0)为幺元以及M1~M5,有了这些条件能否得出“合理”的乘法定义有哪些?于是就是函数方程了。如果这是唯一满足的定义那就完美了,不过我的推测是:它是函数方程所有解中明显、特殊、或朴素的一个。 1.35:又是那种“神来之笔”的证明……怎样理解这优美的构造? 1.A.9:任何两个具有最小上界性的有序域同构。我会找到它的证明。 第2章 (2008.11.17) 这章的目的为何?完全不明白,也没办法搞清定理之间的联系。 2.12:可数个可数集的并是可数集。 2.23:所以同为开集与闭集的集就仅有空集和全集。 2.23:紧集,对于集合的每个开覆盖,存在一个有限子集也是开覆盖。 2.44:Cantor集的概念。 第3章 (2008.11.17) 这章的目的应该是判断及求得数列以及级数的极限。 3.1:极限的概念可以直接在度量空间中定义。 3.21:定理能按数列与级数两种语言来叙述与应用。 3.27:正项不增序列a_i的级数收敛当且仅当2^k a_{2^k}的级数收敛。这可以用相对很稀疏的项判断级数的收敛性。 3.38:幂级数的收敛圆(由根值法推出)。 3.42:∑a_n有界,b_n单调递减到0,∑a_n b_n收敛。(分部法)推论:交错递减则收敛。 3.47:级数乘积的定义有卷积的味道。 3.53:对(收敛但非绝对收敛的)级数重排会改变收敛的值!奇妙…… 数列:单调有界定理,比较法,Cauchy准则。 级数:比较法,3.27,另一种形式叙述的Cauchy准则,比率法与根值法(3.37说明前者有效的后者一定有效),收敛半径,分部法及推论。 第4章 (2008.11.18) 4.8:函数 f: X->Y 连续,当且仅当对于Y的每个开集V,f-1(V)是是X中的开集。(由于开集的补集是闭集,所以叙述中可以换成闭集。) 4.18:一致连续是函数(在某个定义域上)的性质,而连续是函数在点上的性质。然而在紧集上,这两个概念等价。 4.23:函数的连续性保持定义域的连通性。 这章应该是探讨了函数的连续性与第2章中集合的特性的关系。2、4两章应该都是构建后文微分、积分理论大厦的基石与原材料。 第5章 (2008.11.19) 5.9:直接证一般中值定理,很赞。 5.12:导函数可以不连续,但不能有第一类间断,且在区间内能像连续函数一样取到所有中间值。 5.13:L’Hospital法则的证明,看上去很不直观。Wikipedia上的证明似乎更优美。 5.15:这个证Taylor定理/Lagrange余项的方法简洁得很诡异,其实没看懂……Wikipedia上的先证integral reminder再用积分中值定理直接得到Lagrange reminder的方法直接且精炼。 第6章 (2008.11.20-21) 6.1:这个定义与Wikipedia上的Darboux integral完全相同。上积分、下积分——它们必定存在,可积性便等价于二者是否相等——于我是新鲜的概念。以下便用这些定义(还有一个“加细”)证明了若干关于可积性的性质。 6.2:在概念中增添“-Stieltjes”之后,让关于x的Riemann积分可以关于任意函数α(x),扩充的要点是,α不必可导,甚至不必连续。 6.15:有点绕……第一遍没看明白。不过的确是一下子让人发现Riemann-Stieltjes对于Riemann的扩充,然后函数值、级数(6.16)都可用一个Riemann-Stieltjes积分来表示,6.18是点出本质的总结。 6.20-21:微积分基本定理的两部分。我总是觉得Wikipedia上的证明一下子就能看懂,这书故作高深的倾向却要让人看很久才知道他是怎么证出来的……这种从定义就开始“立意求高”类似于“伤人乎不?问马。”,教材中的例子有萧树铁的《大学数学——代数与几何》中对行列式的定义。这样的教材的确有境界,不过最好还是借助大众化的Wikipedia补充一下。

《简明数论》的简明笔记(中):13~21节

Euler函数φ(m),定义,积性不完全; ; ; 。 用积性证很简单;证明二:按与m的最大公约数分类。 f(n)的Mobius变换:; Mobius逆变换:; 以上两式等价,f(n)与F(n)的积性也等价。 f与g的Dirichlet卷积:,h保持f与g的积性。 同余: a对模m的最小非负剩余、绝对最小剩余; 同余式是等价关系;同余式可加减乘;ca≡cb (mod m)等价于a≡b (mod m/(c,m) ); 对模m的逆的定义。 同余类、完全剩余系定义; 既约剩余系包含的同余类个数即φ(m)。 (a,m)=1时,x遍历m的完全/既约剩余系当且仅当ax遍历m的完全/既约剩余系。 用这个可轻松证明Fermat-Euler定理。 Wilson定理,即(p-1)! ≡ -1 (mod p)。 证:除了-1外,其它因子可与(不相等的)逆元配对抵消。 即,p的既约剩余系的积模p得-1。 扩展:p可换成pk,2pk(这两者p是奇素数)。 事实上,r不取1,2,4,pk,2pk时,r的既约剩余系的积模r得1。 ax≡b (mod m) 型的同余方程。 (a,m)|b 是有解的充要条件,解有(a,m)个。 可求a对m的所有逆元。 注意到一个解是 ,也可用扩展欧几里德求特解。 所有解是,其中0<=t<(a,m)。 形如的一次同余方程组。 若{m_i}两两既约,则解数必为1(中国剩余定理)。 解为。 其中,。 当a_i分别遍历m_i的完全/既约剩余系时,x遍历m的完全/既约剩余系。 若{m_i}并非两两既约,例如(m_i,m_j)=a时,可将模m_i与m_j的两个方程化成模a、m_i/a、m_j/a的三个方程。 编程时,直接化为若干个模p^k的方程似更简便,其中p^k || [m_1,m_2,...,m_i,...]。 f(x)≡0 (mod n) 的解数设为 T(f;n),则T(f;n)是关于n的积性函数。 […]

《数学:它的内容,方法和意义》第二章旁注

§3:P99,无穷小量定义。P101,微分学的基本问题:两个无穷小量之比的极限。P103,单调有界定理,由实数理论得出,证明极限存在(,夹逼定理)。 §4:P103,连续的定义。P109,黎曼函数。 §5:P112,导数的定义与记号。P116,导数存在即称可微[分],初等函数的微分公式。 §6:P119,微分四则运算法则的证明。P121,反函数的微分。P122,复合函数的微分(严格证明?)。P124,初等函数的定义及其微分的[机械]求法。(处处连续但处处不可微的函数) §7:P126,连续函数在闭区间内必存在最值——端点、不连续点、导数为0的点。P130,二阶导数的意义,曲线的凹凸,判断[一阶]导数为0的点的极大极小性。 §8:P135~136,定义相对于自变量增量Δx的函数增量Δy=f(x+Δx)-f(x),有Δy=f’(x)Δx+αΔx,且α与Δx同趋于0;将其中的与增量Δx相对应的微分记作dy=f’(x)Δx;实践中将微分作为函数增量的近似式,为对称起见记为dy=f’(x)dx(,似乎可将它作为dy的“定义”);导数既是函数微分与自变量微分之比。P138,中值定理,f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a);构造函数应用中值定理可证:(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(ξ)/g’(ξ),可推得洛比达法则。 §9:泰勒公式[,可用于近似计算]:(,拉格朗日余项);取泰勒公式的无穷形式,并令a=0,可将函数展开成泰勒级数,例子包括(1+x)^n、sin x、cos x、e^x、arctan x的泰勒级数。