《数学分析原理》旁注（上）
注：凡“旁注”性质的笔记，都是无规划不成系统的读书随想。尤其与我大多数短篇的读书笔记一样，并不求别人也看懂。
第1章 (2008.11.16)
1.24：引入复数的一切都很完美，只是这个乘法的定义还是略显突兀。能否通过M1~M5以及零元、幺元等内容将这个定义更顺畅地推导或引入呢？换句话说，有了很自然的加法的定义，要满足(1,0)为幺元以及M1~M5，有了这些条件能否得出“合理”的乘法定义有哪些？于是就是函数方程了。如果这是唯一满足的定义那就完美了，不过我的推测是：它是函数方程所有解中明显、特殊、或朴素的一个。
1.35：又是那种“神来之笔”的证明……怎样理解这优美的构造？
1.A.9：任何两个具有最小上界性的有序域同构。我会找到它的证明。
第2章 (2008.11.17)
这章的目的为何？完全不明白，也没办法搞清定理之间的联系。
2.12：可数个可数集的并是可数集。
2.23：所以同为开集与闭集的集就仅有空集和全集。
2.23：紧集，对于集合的每个开覆盖，存在一个有限子集也是开覆盖。
2.44：Cantor集的概念。
第3章 (2008.11.17)
这章的目的应该是判断及求得数列以及级数的极限。
3.1：极限的概念可以直接在度量空间中定义。
3.21：定理能按数列与级数两种语言来叙述与应用。
3.27：正项不增序列a_i的级数收敛当且仅当2^k a_{2^k}的级数收敛。这可以用相对很稀疏的项判断级数的收敛性。
3.38：幂级数的收敛圆（由根值法推出）。
3.42：∑a_n有界，b_n单调递减到0，∑a_n b_n收敛。（分部法）推论：交错递减则收敛。
3.47：级数乘积的定义有卷积的味道。
3.53：对（收敛但非绝对收敛的）级数重排会改变收敛的值！奇妙……
数列：单调有界定理，比较法，Cauchy准则。
级数：比较法，3.27，另一种形式叙述的Cauchy准则，比率法与根值法（3.37说明前者有效的后者一定有效），收敛半径，分部法及推论。
第4章 (2008.11.18)
4.8：函数 f: X->Y 连续，当且仅当对于Y的每个开集V，f-1(V)是是X中的开集。（由于开集的补集是闭集，所以叙述中可以换成闭集。）
4.18：一致连续是函数（在某个定义域上）的性质，而连续是函数在点上的性质。然而在紧集上，这两个概念等价。
4.23：函数的连续性保持定义域的连通性。
这章应该是探讨了函数的连续性与第2章中集合的特性的关系。2、4两章应该都是构建后文微分、积分理论大厦的基石与原材料。
第5章 (2008.11.19)
5.9：直接证一般中值定理，很赞。
5.12：导函数可以不连续，但不能有第一类间断，且在区间内能像连续函数一样取到所有中间值。
5.13：L’Hospital法则的证明，看上去很不直观。Wikipedia上的证明似乎更优美。
5.15：这个证Taylor定理/Lagrange余项的方法简洁得很诡异，其实没看懂……Wikipedia上的先证integral reminder再用积分中值定理直接得到Lagrange reminder的方法直接且精炼。
第6章 (2008.11.20-21)
6.1：这个定义与Wikipedia上的Darboux integral完全相同。上积分、下积分——它们必定存在，可积性便等价于二者是否相等——于我是新鲜的概念。以下便用这些定义（还有一个“加细”）证明了若干关于可积性的性质。
6.2：在概念中增添“-Stieltjes”之后，让关于x的Riemann积分可以关于任意函数α(x)，扩充的要点是，α不必可导，甚至不必连续。
6.15：有点绕……第一遍没看明白。不过的确是一下子让人发现Riemann-Stieltjes对于Riemann的扩充，然后函数值、级数(6.16)都可用一个Riemann-Stieltjes积分来表示，6.18是点出本质的总结。
6.20-21：微积分基本定理的两部分。我总是觉得Wikipedia上的证明一下子就能看懂，这书故作高深的倾向却要让人看很久才知道他是怎么证出来的……这种从定义就开始“立意求高”类似于“伤人乎不？问马。”，教材中的例子有萧树铁的《大学数学——代数与几何》中对行列式的定义。这样的教材的确有境界，不过最好还是借助大众化的Wikipedia补充一下。