翼若垂天之云 » 数学 http://cuitianyi.com Journey of seeking Truth, Love, and Strength. Tue, 27 Apr 2010 11:20:13 +0000 http://wordpress.org/?v=2.9.2 en hourly 1 《数学分析原理》旁注（上） http://cuitianyi.com/blog/%e3%80%8a%e6%95%b0%e5%ad%a6%e5%88%86%e6%9e%90%e5%8e%9f%e7%90%86%e3%80%8b%e6%97%81%e6%b3%a8%ef%bc%88%e4%b8%8a%ef%bc%89/ http://cuitianyi.com/blog/%e3%80%8a%e6%95%b0%e5%ad%a6%e5%88%86%e6%9e%90%e5%8e%9f%e7%90%86%e3%80%8b%e6%97%81%e6%b3%a8%ef%bc%88%e4%b8%8a%ef%bc%89/#comments Fri, 21 Nov 2008 02:17:25 +0000 tianyi http://cuitianyi.com/blog/?p=390 注：凡“旁注”性质的笔记，都是无规划不成系统的读书随想。尤其与我大多数短篇的读书笔记一样，并不求别人也看懂。

第1章 (2008.11.16)

1.24：引入复数的一切都很完美，只是这个乘法的定义还是略显突兀。能否通过M1~M5以及零元、幺元等内容将这个定义更顺畅地推导或引入呢？换句话说，有了很自然的加法的定义，要满足(1,0)为幺元以及M1~M5，有了这些条件能否得出“合理”的乘法定义有哪些？于是就是函数方程了。如果这是唯一满足的定义那就完美了，不过我的推测是：它是函数方程所有解中明显、特殊、或朴素的一个。

1.35：又是那种“神来之笔”的证明……怎样理解这优美的构造？

1.A.9：任何两个具有最小上界性的有序域同构。我会找到它的证明。

第2章 (2008.11.17)

这章的目的为何？完全不明白，也没办法搞清定理之间的联系。

2.12：可数个可数集的并是可数集。

2.23：所以同为开集与闭集的集就仅有空集和全集。

2.23：紧集，对于集合的每个开覆盖，存在一个有限子集也是开覆盖。

2.44：Cantor集的概念。

第3章 (2008.11.17)

这章的目的应该是判断及求得数列以及级数的极限。

3.1：极限的概念可以直接在度量空间中定义。

3.21：定理能按数列与级数两种语言来叙述与应用。

3.27：正项不增序列a_i的级数收敛当且仅当2^k a_{2^k}的级数收敛。这可以用相对很稀疏的项判断级数的收敛性。

3.38：幂级数的收敛圆（由根值法推出）。

3.42：∑a_n有界，b_n单调递减到0，∑a_n b_n收敛。（分部法）推论：交错递减则收敛。

3.47：级数乘积的定义有卷积的味道。

3.53：对（收敛但非绝对收敛的）级数重排会改变收敛的值！奇妙……

数列：单调有界定理，比较法，Cauchy准则。

级数：比较法，3.27，另一种形式叙述的Cauchy准则，比率法与根值法（3.37说明前者有效的后者一定有效），收敛半径，分部法及推论。

第4章 (2008.11.18)

4.8：函数 f: X->Y 连续，当且仅当对于Y的每个开集V，f-1(V)是是X中的开集。（由于开集的补集是闭集，所以叙述中可以换成闭集。）

4.18：一致连续是函数（在某个定义域上）的性质，而连续是函数在点上的性质。然而在紧集上，这两个概念等价。

4.23：函数的连续性保持定义域的连通性。

这章应该是探讨了函数的连续性与第2章中集合的特性的关系。2、4两章应该都是构建后文微分、积分理论大厦的基石与原材料。

第5章 (2008.11.19)

5.9：直接证一般中值定理，很赞。

5.12：导函数可以不连续，但不能有第一类间断，且在区间内能像连续函数一样取到所有中间值。

5.13：L’Hospital法则的证明，看上去很不直观。Wikipedia上的证明似乎更优美。

5.15：这个证Taylor定理/Lagrange余项的方法简洁得很诡异，其实没看懂……Wikipedia上的先证integral reminder再用积分中值定理直接得到Lagrange reminder的方法直接且精炼。

第6章 (2008.11.20-21)

6.1：这个定义与Wikipedia上的Darboux integral完全相同。上积分、下积分——它们必定存在，可积性便等价于二者是否相等——于我是新鲜的概念。以下便用这些定义（还有一个“加细”）证明了若干关于可积性的性质。

6.2：在概念中增添“-Stieltjes”之后，让关于x的Riemann积分可以关于任意函数α(x)，扩充的要点是，α不必可导，甚至不必连续。

6.15：有点绕……第一遍没看明白。不过的确是一下子让人发现Riemann-Stieltjes对于Riemann的扩充，然后函数值、级数(6.16)都可用一个Riemann-Stieltjes积分来表示，6.18是点出本质的总结。

6.20-21：微积分基本定理的两部分。我总是觉得Wikipedia上的证明一下子就能看懂，这书故作高深的倾向却要让人看很久才知道他是怎么证出来的……这种从定义就开始“立意求高”类似于“伤人乎不？问马。”，教材中的例子有萧树铁的《大学数学——代数与几何》中对行列式的定义。这样的教材的确有境界，不过最好还是借助大众化的Wikipedia补充一下。

]]> http://cuitianyi.com/blog/%e3%80%8a%e6%95%b0%e5%ad%a6%e5%88%86%e6%9e%90%e5%8e%9f%e7%90%86%e3%80%8b%e6%97%81%e6%b3%a8%ef%bc%88%e4%b8%8a%ef%bc%89/feed/ 2 《简明数论》的简明笔记（中）：13~21节 http://cuitianyi.com/blog/%e3%80%8a%e7%ae%80%e6%98%8e%e6%95%b0%e8%ae%ba%e3%80%8b%e7%9a%84%e7%ae%80%e6%98%8e%e7%ac%94%e8%ae%b0%ef%bc%88%e4%b8%ad%ef%bc%89%ef%bc%9a1321%e8%8a%82/ http://cuitianyi.com/blog/%e3%80%8a%e7%ae%80%e6%98%8e%e6%95%b0%e8%ae%ba%e3%80%8b%e7%9a%84%e7%ae%80%e6%98%8e%e7%ac%94%e8%ae%b0%ef%bc%88%e4%b8%ad%ef%bc%89%ef%bc%9a1321%e8%8a%82/#comments Tue, 18 Nov 2008 06:33:49 +0000 tianyi http://cuitianyi.com/blog/?p=386
  • Euler函数φ(m)，定义，积性不完全；
    • \phi(m)=m\prod_{p|m}(1-\frac{1}{p})；
    • \phi(m)=m\sum_{d|m}\frac{\mu(d)}{d}；
    • \sum_{d|m}\phi(d)=m。
      • 用积性证很简单；证明二：按与m的最大公约数分类。
  • f(n)的Mobius变换：F(n)=\sum_{d|n}f(d)；
    • Mobius逆变换：f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})；
      • 以上两式等价，f(n)与F(n)的积性也等价。
    • f与g的Dirichlet卷积：h(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})，h保持f与g的积性。
  • 同余：
    • a对模m的最小非负剩余、绝对最小剩余；
    • 同余式是等价关系；同余式可加减乘；ca≡cb (mod m)等价于a≡b (mod m/(c,m) )；
    • 对模m的逆的定义。
  • 同余类、完全剩余系定义；
    • 既约剩余系包含的同余类个数即φ(m)。
    • (a,m)=1时，x遍历m的完全/既约剩余系当且仅当ax遍历m的完全/既约剩余系。
      • 用这个可轻松证明Fermat-Euler定理。
  • Wilson定理，即(p-1)! ≡ -1 (mod p)。
    • 证：除了-1外，其它因子可与（不相等的）逆元配对抵消。
    • 即，p的既约剩余系的积模p得-1。
      • 扩展：p可换成pk，2pk（这两者p是奇素数）。
    • 事实上，r不取1,2,4,pk,2pk时，r的既约剩余系的积模r得1。
  • ax≡b (mod m) 型的同余方程。
    • (a,m)|b 是有解的充要条件，解有(a,m)个。
      • 可求a对m的所有逆元。
    • 注意到一个解是 x_0 = a^{\phi(m)-1}b，也可用扩展欧几里德求特解。
    • 所有解是x_0 + \frac{m}{(a,m)}t，其中0<=t<(a,m)。
  • 形如x \equiv a_i \pmod{m_i}的一次同余方程组。
    • 若{m_i}两两既约，则解数必为1（中国剩余定理）。
      • 解为x \equiv \sum M_i M_i^{-1}a_i \pmod{m}。
      • 其中m = \prod m_i = M_i m_i，M_i M_i^{-1} \equiv 1 \pmod{m_i}。
      • 当a_i分别遍历m_i的完全/既约剩余系时，x遍历m的完全/既约剩余系。
    • 若{m_i}并非两两既约，例如(m_i,m_j)=a时，可将模m_i与m_j的两个方程化成模a、m_i/a、m_j/a的三个方程。
      • 编程时，直接化为若干个模p^k的方程似更简便，其中p^k || [m_1,m_2,...,m_i,...]。
    • f(x)≡0 (mod n) 的解数设为 T(f;n)，则T(f;n)是关于n的积性函数。
      • 于是只需研究f(x)≡0 (mod p^k)型方程的解法。
      • 即求解多个方程后再解个模{p^k}的一次同余方程组。
    • ]]>     http://cuitianyi.com/blog/%e3%80%8a%e7%ae%80%e6%98%8e%e6%95%b0%e8%ae%ba%e3%80%8b%e7%9a%84%e7%ae%80%e6%98%8e%e7%ac%94%e8%ae%b0%ef%bc%88%e4%b8%ad%ef%bc%89%ef%bc%9a1321%e8%8a%82/feed/ 0     《简明数论》的简明笔记（上）：1~12节 http://cuitianyi.com/blog/%e3%80%8a%e7%ae%80%e6%98%8e%e6%95%b0%e8%ae%ba%e3%80%8b%e7%9a%84%e7%ae%80%e6%98%8e%e7%ac%94%e8%ae%b0%ef%bc%88%e4%b8%8a%ef%bc%89%ef%bc%9a112%e8%8a%82/ http://cuitianyi.com/blog/%e3%80%8a%e7%ae%80%e6%98%8e%e6%95%b0%e8%ae%ba%e3%80%8b%e7%9a%84%e7%ae%80%e6%98%8e%e7%ac%94%e8%ae%b0%ef%bc%88%e4%b8%8a%ef%bc%89%ef%bc%9a112%e8%8a%82/#comments Wed, 01 Oct 2008 16:54:41 +0000 tianyi http://cuitianyi.com/blog/?p=385 按：数论貌似是我目前还接触太少的领域，遵从vls的推荐借了北大出版社的《简明数论》来浏览，还是很好玩儿的……下面是从中总结的一些比较新鲜的结论。

    • {a_i} 的最大公约数等于 {a_i} 的所有整系数线性组合组成的集合中的最小正整数；
      • 事实上，被最大公约数整除，等价于能表示成整系数线性组合。
    • 一次不定方程 ∑a_i*x_i=c 有解的充要条件是 c|({a_i})；
      • 解一次不定方程的算法（待实现）。
    • x^2+y^2=z^2 的本原解：x=r^2-s^2, y=2rs, z=r^2+s^2；
      • 其中r>s>0, (s,r)=1, 2不整除r+s；
      • 等价地刻画了单位圆周上的有理点。
    • Chebyshev不等式：\frac{x \ln{2}}{3 \ln{x}} < \pi(x) < \frac{6\ln{2}x}{\ln{x}}，\frac{n\ln{n}}{6\ln{2}} < p_n < \frac{8n\ln{n}}{\ln{2}}；
      • 其实重点在于：O(π(x))=x/log x，O(p_n)=n log n。
        • （π(x)即不大于x的素数个数；p_n即第n个素数。）
    • 数论函数：[完全]积性函数的充要条件；
      • 除数和函数\sigma(n)=\prod_{j=1}^{r}\frac{p_j^{a_j+1}-1}{p_j-1}；
      • F(n)=∑_{d|n}f(d) 保持f(n)的积性。（除数即Divisor）
    • Mobius函数：\mu(n)=\left\{ \begin{array}{ll} 1, & n=1\\ (-1)^r, & \text{n is product of }r\text{ distinct primes}\\ 0, & \text{otherwise} \end{array} \right；
        • 事实上与容斥原理很有关联；
        • 引理：\sum_{d|n}\mu(d)=[\frac{1}{n}]
      • 集合A中与K互质的元素个数S(A;K)= \sum_{d|K}\mu(d)|A_d|}，其中A_d是A中被d整除的子集；
      • 将A取不超过x的实数，K取不超过的所有素数的乘积，可得\pi(x)=\pi(\sqrt{x})-1+\sum_{d|K}\mu(d)[\frac{x}{d}]，这样可以在已知不超过的素数的前提下求π(x)。
        • 从算法的角度看似无意义？
    ]]>     http://cuitianyi.com/blog/%e3%80%8a%e7%ae%80%e6%98%8e%e6%95%b0%e8%ae%ba%e3%80%8b%e7%9a%84%e7%ae%80%e6%98%8e%e7%ac%94%e8%ae%b0%ef%bc%88%e4%b8%8a%ef%bc%89%ef%bc%9a112%e8%8a%82/feed/ 3