先介绍单串匹配的自动机。对于M个字符的串S[1..M]，一个用这个串进行模式匹配的自动机需要M+1个状态。设状态i输入ch时的转移为auto[i][ch]。状态转移时要满足：若当前在状态i，说明已输入的最后i个字符是S[1..i]，若有多个状态满足这个定义，则应该在编号最大的状态。如何保证上述条件始终被满足呢？首先，auto[i][S[i+1]]=i+1，这是明显的。如果ch!=S[i+1]，则auto[i][ch]肯定应该转移到某个小于等于i的状态，这个状态j应该满足：它是串S[1..j]是S[1..i]+ch的后缀，且j是最大的。找出j的方法是：计算每个i的“后缀状态”，也就是给自动机输入S[2..i]后自动机应该在的状态suffix[i]，则当输入ch时应该转移的状态就是auto[suffix[i]][ch]的转移。计算suffix的方法是：suffix[i+1]=auto[suffix[i]][S[i+1]]，suffix[1]=0。单字符串的自动机就是这样构造的。每次转移到状态M时，就找到了一个匹配。

值得注意的是，上述suffix数组所含的信息和KMP算法求出的所谓next数组其实是完全一致的。其实CLRS上也说，KMP算法就是通过少量的预处理实时地均摊O(1)地求出自动机的状态转移（大意）。也就是说，串匹配自动机也可以这样实现：首先通过预处理求出suffix数组，然后在状态i输入了字符ch时，需要转移到状态auto[i][ch]，但是具体转移到哪个状态我们并没有预处理求出，我们只知道：若S[i+1]==ch则转移到i+1，否则转移到auto[suffix[i]][ch]。利用这两个条件，前者可以看做递归边界，就可以递归的求出每个需要的转移。可以证明的是这种求的复杂度是均摊O(1)的。

然后来看多字符串匹配的情况，其实和单字符串的时候差别不大，只不过状态之间不再是一个简单的线性结构了，而是一个Trie的结构，要根据刚才那个“后缀状态”的定义求出所有没有在Trie中直接出现的边应该转移到什么地方，同样也可以像KMP算法实时地计算那些转移。具体的方法都跟单串的没什么差别。

SPOJ上有两道题可以练习自动机：PSTRING是利用单串匹配自动机（或者KMP）进行状态转移的DP，WPUZZLES则是直接的多串自动机应用。

关于字符串匹配自动机，更详细的说明和更多应用可以找Maigo（王赟）关于Trie图的论文。

找到了这篇论文，似乎就是大家所说的三分法的“Skew Algorithm”的原始出处。作者在文章里说这种算法的基本原理是“Difference Cover”原则，并且在采样(Sample)的时候以3为模，所以这个算法叫DC3（Difference Cover modulo 3)。在本文里这个算法的名字就以原始论文为准了。

DC3算法的基本过程是这样的：首先构造出来一个superstring，这个串的每个字母都是原串的字母拼接上后面的两个字母，但这个串仅包含原串中下标模3不为0的位置。（递归地）求出这个串的SA，设为SA12。显然SA12中串的排列顺序与最终结果SA的排列顺序是相同的，只是SA12包含的串只有原串的2/3。

然后利用这个SA12和原串在线性时间内求出没有包含在SA12中的1/3的串的SA（也就是下标模3为0的那些串），设为SA0。求SA0的方法是：串的初始顺序是它们后面那个串在SA12中的顺序，然后再依据第一个字母进行一次RadixSort就可以了。也就是说SA0中的顺序可以仅用两个关键字来确定：第一关键字是第一个字母，第二关键字是后面的那个串在SA12中的位置。

现在得到了SA0和SA12，只需要把它们合并就可以得到最终的SA了，要想在线性时间内完成合并，需要在常数时间内完成比较。其实也不太难：当模为0的一个串与模为1的一个串比较时，需要比较它们的第一个字母与它们后面的那个串（都在SA12中），当模为0的一个串与模为2的一个串比较时，需要比较它们的前两个字母与它们去掉前两个字母以后的那个串（显然也都在SA12中）。

具体实现有点麻烦，我目前的代码基本上是完全抄的论文后面给的C++程序。不过运行速度真的很理想。因为程序里有一个很强的优化：当superstring中所有的字符都不相同时，可以直接用一遍RadixSort得到SA12，不用递归。经过这样的优化，递归地层数非常少，对于完全随机生成的长度为50000的英文字符串，求一次SA平均只需进行4次调用。所以实际时间效率非常高，常数不算大。

目前我对这个算法的理解还远不够深刻，所以讲的可能不易理解。有能力的话就看上面给出的原始论文吧，只看前三节就可以，后面讲了如何以牺牲一定时间为代价优化空间使用，我们是完全用不着的。

实例代码见上面的论文的附录A吧，我写得跟那个一样。

解决这个问题有一个O(VE)的算法，是这样的：对于除根外的每个顶点，选择一条权最小的入边。如果选出来的V-1条边不构成环，则可以证明这些边就是满足要求的答案。如果存在环，则将环中的边收缩成一个顶点。设x是环中的点，y不是环中的点，v为新的顶点，w0为上一步中x选择的入边的权值，则原来的权值为w的边(x,y)变成权值为w的边(v,y)，原来的权值为w的边(y,x)变成权值为w-w0的边(y,v)。这时最小树形图的答案就是环的权值和加上收缩以后的图的答案。

为什么收缩了以后要减小权值呢？很简单，最小树形图需要每个顶点选一条入边，顶点x当前已经有入边了，如果以后再给收缩后的顶点x选择权值为w的（原来属于x的）入边，就意味着已经选择的那条权值为w0的入边可以去掉了，也就是说选择这条边的代价应该是w-w0，所以就做这样的修改。

不过如果不固定根，我还不太知道如何用同样的复杂度解决，谁写过请教教我。

（发现自己最近表达能力很差，这个文章说得清楚些。）

示例程序（TJU2248，用邻接矩阵写的，O(V^3)，比较简洁）：
tju2248.cpp

但问题是，对于当前的顶标的导出子图并不一定存在完美匹配。这时，可以用某种方法对顶标进行调整。调整的方法是：根据最后一次不成功的寻找交错路的DFS，取所有i被访问到而j没被访问到的边(i,j)的lx[i]+ly[j]-w[i][j]的最小值d。将交错树中的所有左端点的顶标减小d，右端点的顶标增加d。经过这样的调整以后：原本在导出子图里面的边，两边的顶标都变了，不等式的等号仍然成立，仍然在导出子图里面；原本不在导出子图里面的边，它的左端点的顶标减小了，右端点的顶标没有变，而且由于d的定义，不等式仍然成立，所以他就可能进入了导出子图里。

初始时随便指定一个可行顶标，比如说lx[i]=max{w[i][j]|j是右边的点}，ly[i]=0。然后对每个顶点进行类似Hungary算法的find过程，如果某次find没有成功，则按照这次find访问到的点对可行顶标进行上述调整。这样就可以逐步找到完美匹配了。

值得注意的一点是，按照上述d的定义去求d的话需要O(N^2)的时间，因为d需要被求O(N^2)次，这就成了算法的瓶颈。可以这样优化：设slack[j]表示右边的点j的所有不在导出子图的边对应的lx[i]+ly[j]-w[i][j]的最小值，在find过程中，若某条边不在导出子图中就用它对相应的slack值进行更新。然后求d只要用O(N)的时间找到slack中的最小值就可以了。

如果是求最小权匹配，只需要把那个不等式反一下就行了。算法需要作出的改变是：lx的初值为所有临界边中的最小值，find中t反号。

示例程序(Ural 1076)：
ural1076.cpp

Relabel-to-Front使用一个链表保存溢出顶点，用Discharge操作不断使溢出顶点不再溢出。Discharge的操作过程是：若找不到可被压入的临边，则重标记，否则对临边压入，直至点不再溢出。算法的主过程是：首先将源点出发的所有边充满，然后将除源和汇外的所有顶点保存在一个链表里，从链表头开始进行Discharge，如果完成后顶点的高度有所增加，则将这个顶点置于链表的头部，对下一个顶点开始Discharge。

Relabel-to-Front算法的时间复杂度是O(V^3)，还有一个叫Highest Label Preflow Push的算法复杂度据说是O(V^2*E^0.5)。我研究了一下HLPP，感觉它和Relabel-to-Front本质上没有区别，因为Relabel-to-Front每次前移的都是高度最高的顶点，所以也相当于每次选择最高的标号进行更新。还有一个感觉也会很好实现的算法是使用队列维护溢出顶点，每次对pop出来的顶点discharge，出现了新的溢出顶点时入队。

Push-Relabel类的算法有一个名为gap heuristic的优化，就是当存在一个整数0<k<V，没有任何顶点满足h[v]=k时，对所有h[v]>k的顶点v做更新，若它小于V+1就置为V+1。不过这个我还没实现，因为现在算法的效率我已经很满意了，以后有空再实现吧。

今天实现的Relabel-to-Front比昨天的距离标号最短增广路又要高效一倍左右。最后感叹一下，网络流真是有趣啊……甚至都想买那本专门讲网络流的书来看看。

示例程序（还是USACO Training Ditch，不过都是自己出数据测的）：
ditch(preflow).cpp

如果能让每次寻找增广路时的时间复杂度降下来，那么就能提高算法效率了，使用距离标号的最短增广路算法就是这样的。所谓距离标号，就是某个点到汇点的最少的弧的数量（另外一种距离标号是从源点到该点的最少的弧的数量，本质上没什么区别）。设点i的标号为D[i]，那么如果将满足D[i]=D[j]+1的弧(i,j)叫做允许弧，且增广时只走允许弧，那么就可以达到“怎么走都是最短路”的效果。每个点的初始标号可以在一开始用一次从汇点沿所有反向边的BFS求出，问题就是如何在增广过程中维护这个距离标号。

维护距离标号的方法是这样的：当找增广路过程中发现某点出发没有允许弧时，将这个点的距离标号设为由它出发的所有弧的终点的距离标号的最小值加一。这种维护距离标号的方法的正确性我就不证了。

由于距离标号的存在，由于“怎么走都是最短路”，所以就可以采用DFS找增广路，用一个栈保存当前路径的弧即可。当某个点的距离标号被改变时，栈中指向它的那条弧肯定已经不是允许弧了，所以就让它出栈，并继续用栈顶的弧的端点增广。为了使每次找增广路的时间变成均摊O(V)，还有一个重要的优化是对于每个点保存“当前弧”：初始时当前弧是邻接表的第一条弧；在邻接表中查找时从当前弧开始查找，找到了一条允许弧，就把这条弧设为当前弧；改变距离标号时，把当前弧重新设为邻接表的第一条弧，还有一种在常数上有所优化的写法是改变距离标号时把当前弧设为那条提供了最小标号的弧。当前弧的写法之所以正确就在于任何时候我们都能保证在邻接表中当前弧的前面肯定不存在允许弧。

还有一个常数优化是在每次找到路径并增广完毕之后不要将路径中所有的顶点退栈，而是只将瓶颈边以及之后的边退栈，这是借鉴了Dinic算法的思想。注意任何时候待增广的“当前点”都应该是栈顶的点的终点。这的确只是一个常数优化，由于当前边结构的存在，我们肯定可以在O(n)的时间内复原路径中瓶颈边之前的所有边。

我程序做了很多优化（甚至包括动态内存分配的时候使用placement new进行优化），最终能做到比wxs写的dinic快了大约一倍，但程序只有一百二十多行，我对这个结果很满意。距离标号增广的确是一个非常优秀非常实用的算法。

示例程序(USACO Training Ditch)：
ditch.cpp

http://www.nist.gov/dads/ Dictionary of Algorithms and Data Structures，基本上各种数据结构和算法都会有介绍，个别的介绍太简短，没提供什么有用信息，大多数词条还是蛮有价值的，特别是有些More Information里面的链接。

http://www.research.att.com/~njas/sequences/ 在线数列百科全书。我只能说……谁用谁知道。

http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/ Jeff Erickson教授的个人主页。这个教授真是一个好人，把自己的课程的一切资料——讲义、试题——放了上去。比如说那份详实的Algorithms Course Materials就是一份不可多得的好资料。

http://www.csse.monash.edu.au/~lloyd/ Lloyd Alison教授的个人主页。我发现里面关于某些东西（例如Suffix Tree）的介绍很不错，还有Algorithms->2D->Life里面的东西你一定要看看。

http://www.introductiontoalgorithms.com/ 一个关于Introduction to Algorithms这本书的网站，上面有用的资料不比原书中多。不过若你没有这本书，只是想对于某个算法找到其定义或者伪代码，这个网站还是有用的。

http://www.cs.fiu.edu/~weiss/ Mark Allen Weiss教授——Data Structures and Algorithm Analysis in C/C++/Java 等书的作者——的个人主页。这里有这些书的源代码，我认为这些代码是很好的。

http://www.cs.kent.edu/~rmuhamma/ Rashid Bin Muhammad教授的主页，里面的Algorithms页面挺有料。

http://courses.csail.mit.edu/ 一份MIT的课程列表，其中的6.851很神奇。

http://www.math.ucla.edu/~tom/ Thomas S. Ferguson教授的个人主页，我在上面下载了一份不错的Game Theory讲义。

哦……这个列表目前很短，因为我很菜，知道的东西还很少。如果你知道包含好的算法资料的网站，请一定要留言告诉我哦！

设原字符串为S，长度为N。定义二维数组st[0..N-1][0..F]（st代表Sparse Table），其中F为N在二进制下的位数（F=[logN]+1）。st中任一元素的取值为[1,N]中的整数，且满足st[i][f]与st[j][f]的大小关系（小于、相等、大于）与S的子串S[i..i+2^f-1]和S[j..j+2^f-1]的大小关系一致。上述“子串”中的元素可能越界，故在算法中认为任何下标大于等于N的字符均为一个比任意字符都要小的字符（如’/0’）。在已知st[k][f-1]（0<=k<N）的所有值之后，子串S[i..i+2^f-1]与所有长度相同的子串的相对大小完全取决于st[i][f-1]⊕st[i+2^(f-1)][f-1]（⊕为连接运算），若i+2^(f-1)>=N，可简单地认为上述连接运算的右值为0，所以所有长度为2^f的子串可以利用基数排序的方法在O(n)的时间内排序，这个O(n)的排序基于的事实是：给定元素的两部分的取值均为[0,n]）。所以说可以利用O(n)时间求出st[k][f]。初始时st[k][0]的取值可以利用一遍计数排序求出，更简单地，可以令st[k][0]=S[k]（当S的长度小于字母表的大小时，这有可能违反st中元素取值为[1,N]的定义，但由于把字母表的大小看作常数，这样处理不会影响复杂度分析）。在求出st[k][F]（0<=k<N）的所有值之后，可以看出st[k][F]体现了S[k..N-1]在所有后缀中的（相对）位置，再经过一遍基数排序，就得出了后缀数组。O(nlogn)的时间复杂度是显而易见的。空间复杂度也为O(nlogn)，可以利用滚动数组优化成O(n)。另外，利用上述st表可以用O(1)时间回答S中任意两个子串的大小关系。

update: 使用USACO DEC06 GOLD 的 Patterns 一题测试，可以AC，这个算法的正确性应该没问题，效率嘛……反正比那个用hash做的标程要快许多。一共写了85行，其中求Suffix Array的核心部分大约40行。

示例程序：patterns.cpp

这道题我的解法是这样的：另外用一个栈，每当Push时在这里保存当前关于GetMin的答案。仔细品味一下这个方法，这就是over-eager evaluation（过度热情计算）！也就是说，我们在并不需要结果的时候就把结果计算出来。

对于某种数据结构，它要不断地被询问某个问题以及被修改，如果我们每次在被问及这个问题时才去计算它的答案，性能可能会不允许。但如果我们把问题的当前答案保存起来，在每次数据被修改时更新它（很可能要利用以前的答案来推得），并在被询问时直接返回保存好的答案，这可能会大大提高效率。很好的例子是一个会被经常问及所有元素平均值的集合。

与它相对的是lazy evaluation，懒惰计算，它的核心是尽量推迟真正进行计算的时间（甚至推迟到返回了“值”之后），直至不得不做。

平衡二叉树的实现一般有三种情形：递归、Top-Down（自顶向下）、Buttom-Up（自底向上）。递归实现可能比较好写，比如Treap的递归实现就非常短，基本的插入删除二三十行就可以搞定。Splay的一种实现方法也是递归，但这种方法是不推荐使用的。因为Splay虽然保证均摊的时间复杂度，但并不保证高度（AVL保证高度是严格的O(logn)、Treap保证高度是期望O(logn)），这就造成面对某些刁钻的数据时虽时间上不会出问题，却可能由于递归层次过多造成栈溢出。（例如连续大量升序的插入会使Splay变成一条长链，此时访问最底端的节点就会造成栈溢出。）所以Splay比较好的编写方法还是Top-Down或者Buttom-Up，它们都是非递归的。其中Top-Down的核心Splay过程有大约三四十行，性能十分优异，虽然不太好理解但是强记住也是可取的。Buttom-Up的Splay我没写过，但我知道一切Buttom-Up的平衡树都需要维护每个节点的父指针，造成了一定的编程复杂度也容易出错（比如说最基本的旋转操作就比以前麻烦多了）。Treap也可以写成Buttom-Up，不过我觉得没必要——既然选择了Treap当然就是为了它的编程复杂度低，写Buttom-Up的Treap还不如写成Top-Down或Buttom-Up的Splay，没准行数还更少呢。但相对于递归实现以及Buttom-Up来说，Top-Down的缺点是很难维护每个节点的Size域（即这棵子树的节点数或者其左子树的节点数），事实上我一直认为Top-Down Splay是无法在均摊O(logn)的和不记录父指针的前提下加入维护size域的操作的——这两个前提若不满足则或失去了Splay的本质，或失去了Top-Down的精髓。综上所述呢，在考试时选择写哪种平衡树应该这样考虑：不需要Size且数据量极大时用Top-Down Splay，需要Size或数据量一般时用递归Treap，这两者我都有把握在15min内写对；Buttom-Up的唯一好处是既非递归又能维护Size，但似乎书写是最麻烦的，何况我没写过，所以就不考虑了。

下面说说平衡树的操作。Insert和Remove这种需要改变树中元素的操作因平衡方式而异，就不细说了。Find的基本方法就是不断比较待查找值与当前节点，若小于则向左，大于则向右，等于就找到了；Splay的Find有所不同，只要Splay这个值一下看看根部有没有就行了。 GetMax是从根一直向右走直至无法再走就找到了最大值，GetMin反之，注意Splay中还需要把找到的最值再Splay一下，否则无法保证均摊的复杂度。Prev是对当前值向左走一步然后一直向右，Next相反；对于Splay只要把它先伸展到根部再这样找就行了，但对于Treap，若它的左子树或右子树是空的，注意需要返回的反而是某个祖先节点，用递归实现或Buttom-Up比较简便。Rank操作只须记录每个节点的子树的大小，然后比较当前值与左子树的大小把它分到左边或者右边，如果分到右边要把左子树和当前节点的大小都加到答案里，一般就都采用非递归的实现了（反正是一个容易消除的尾递归）。Select基本与Rank类似，也是不断比较这个序号与左子树的大小，就能知道答案在左边还是右边了。

以上操作中GetMin、GetMax可以以每次操作相同的时间复杂度上界代替二叉堆，比单纯的二叉堆的优点是支持了方便的查找和删除，还可以同时找最大值和最小值。Prev、Next、Rank、Select等操作在很多题中也各有应用。

总的来说，对于这种用处广泛考察很多的数据结构来说，最好还是透彻地理解、熟练的背诵。