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Tag Archives: KM算法

求最大权二分匹配的KM算法

最大权二分匹配问题就是给二分图的每条边一个权值,选择若干不相交的边,得到的总权值最大。解决这个问题可以用KM算法。理解KM算法需要首先理解“可行顶标”的概念。可行顶标是指关于二分图两边的每个点的一个值lx[i]或ly[j],保证对于每条边w[i][j]都有lx[i]+ly[j]-w[i][j]>=0。如果所有满足lx[i]+ly[j]==w[i][j]的边组成的导出子图中存在一个完美匹配,那么这个完美匹配肯定就是原图中的最大权匹配。理由很简单:这个匹配的权值之和恰等于所有顶标的和,由于上面的那个不等式,另外的任何匹配方案的权值和都不会大于所有顶标的和。 但问题是,对于当前的顶标的导出子图并不一定存在完美匹配。这时,可以用某种方法对顶标进行调整。调整的方法是:根据最后一次不成功的寻找交错路的DFS,取所有i被访问到而j没被访问到的边(i,j)的lx[i]+ly[j]-w[i][j]的最小值d。将交错树中的所有左端点的顶标减小d,右端点的顶标增加d。经过这样的调整以后:原本在导出子图里面的边,两边的顶标都变了,不等式的等号仍然成立,仍然在导出子图里面;原本不在导出子图里面的边,它的左端点的顶标减小了,右端点的顶标没有变,而且由于d的定义,不等式仍然成立,所以他就可能进入了导出子图里。 初始时随便指定一个可行顶标,比如说lx[i]=max{w[i][j]|j是右边的点},ly[i]=0。然后对每个顶点进行类似Hungary算法的find过程,如果某次find没有成功,则按照这次find访问到的点对可行顶标进行上述调整。这样就可以逐步找到完美匹配了。 值得注意的一点是,按照上述d的定义去求d的话需要O(N^2)的时间,因为d需要被求O(N^2)次,这就成了算法的瓶颈。可以这样优化:设slack[j]表示右边的点j的所有不在导出子图的边对应的lx[i]+ly[j]-w[i][j]的最小值,在find过程中,若某条边不在导出子图中就用它对相应的slack值进行更新。然后求d只要用O(N)的时间找到slack中的最小值就可以了。 如果是求最小权匹配,只需要把那个不等式反一下就行了。算法需要作出的改变是:lx的初值为所有临界边中的最小值,find中t反号。 示例程序(Ural 1076): ural1076.cpp