找到了这篇论文，似乎就是大家所说的三分法的“Skew Algorithm”的原始出处。作者在文章里说这种算法的基本原理是“Difference Cover”原则，并且在采样(Sample)的时候以3为模，所以这个算法叫DC3（Difference Cover modulo 3)。在本文里这个算法的名字就以原始论文为准了。

DC3算法的基本过程是这样的：首先构造出来一个superstring，这个串的每个字母都是原串的字母拼接上后面的两个字母，但这个串仅包含原串中下标模3不为0的位置。（递归地）求出这个串的SA，设为SA12。显然SA12中串的排列顺序与最终结果SA的排列顺序是相同的，只是SA12包含的串只有原串的2/3。

然后利用这个SA12和原串在线性时间内求出没有包含在SA12中的1/3的串的SA（也就是下标模3为0的那些串），设为SA0。求SA0的方法是：串的初始顺序是它们后面那个串在SA12中的顺序，然后再依据第一个字母进行一次RadixSort就可以了。也就是说SA0中的顺序可以仅用两个关键字来确定：第一关键字是第一个字母，第二关键字是后面的那个串在SA12中的位置。

现在得到了SA0和SA12，只需要把它们合并就可以得到最终的SA了，要想在线性时间内完成合并，需要在常数时间内完成比较。其实也不太难：当模为0的一个串与模为1的一个串比较时，需要比较它们的第一个字母与它们后面的那个串（都在SA12中），当模为0的一个串与模为2的一个串比较时，需要比较它们的前两个字母与它们去掉前两个字母以后的那个串（显然也都在SA12中）。

具体实现有点麻烦，我目前的代码基本上是完全抄的论文后面给的C++程序。不过运行速度真的很理想。因为程序里有一个很强的优化：当superstring中所有的字符都不相同时，可以直接用一遍RadixSort得到SA12，不用递归。经过这样的优化，递归地层数非常少，对于完全随机生成的长度为50000的英文字符串，求一次SA平均只需进行4次调用。所以实际时间效率非常高，常数不算大。

目前我对这个算法的理解还远不够深刻，所以讲的可能不易理解。有能力的话就看上面给出的原始论文吧，只看前三节就可以，后面讲了如何以牺牲一定时间为代价优化空间使用，我们是完全用不着的。

实例代码见上面的论文的附录A吧，我写得跟那个一样。

设原字符串为S，长度为N。定义二维数组st[0..N-1][0..F]（st代表Sparse Table），其中F为N在二进制下的位数（F=[logN]+1）。st中任一元素的取值为[1,N]中的整数，且满足st[i][f]与st[j][f]的大小关系（小于、相等、大于）与S的子串S[i..i+2^f-1]和S[j..j+2^f-1]的大小关系一致。上述“子串”中的元素可能越界，故在算法中认为任何下标大于等于N的字符均为一个比任意字符都要小的字符（如’/0’）。在已知st[k][f-1]（0<=k<N）的所有值之后，子串S[i..i+2^f-1]与所有长度相同的子串的相对大小完全取决于st[i][f-1]⊕st[i+2^(f-1)][f-1]（⊕为连接运算），若i+2^(f-1)>=N，可简单地认为上述连接运算的右值为0，所以所有长度为2^f的子串可以利用基数排序的方法在O(n)的时间内排序，这个O(n)的排序基于的事实是：给定元素的两部分的取值均为[0,n]）。所以说可以利用O(n)时间求出st[k][f]。初始时st[k][0]的取值可以利用一遍计数排序求出，更简单地，可以令st[k][0]=S[k]（当S的长度小于字母表的大小时，这有可能违反st中元素取值为[1,N]的定义，但由于把字母表的大小看作常数，这样处理不会影响复杂度分析）。在求出st[k][F]（0<=k<N）的所有值之后，可以看出st[k][F]体现了S[k..N-1]在所有后缀中的（相对）位置，再经过一遍基数排序，就得出了后缀数组。O(nlogn)的时间复杂度是显而易见的。空间复杂度也为O(nlogn)，可以利用滚动数组优化成O(n)。另外，利用上述st表可以用O(1)时间回答S中任意两个子串的大小关系。

update: 使用USACO DEC06 GOLD 的 Patterns 一题测试，可以AC，这个算法的正确性应该没问题，效率嘛……反正比那个用hash做的标程要快许多。一共写了85行，其中求Suffix Array的核心部分大约40行。

示例程序：patterns.cpp