什么是数学/笔记

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这是我在阅读什么是数学一书时做的笔记。

1 第1章自然数
2 第1章补充数论
3 第2章数学中的数系
4 第2章补充集合代数
5 第3章几何作图数域的代数
- 5.1 第1部分不可能性的证明和代数
  - 5.1.1 基本几何作图
  - 5.1.2 可作图的数和数域
- 5.2 第2部分作图的各种方法
6 第4章射影几何公理体系非欧几里得几何
7 第5章拓扑学
8 第6章函数和极限
9 第6章补充极限和连续的一些例题
10 第7章极大与极小
11 第8章微积分
12 第8章补充
13 第9章最新进展

第1章自然数

没有什么要记的。

第1章补充数论

数论真是有意思的东西。打算以后啃华罗庚的数论导引TODO。

算术基本定理的简洁证明，利用最小性归谬，非常漂亮。

每个无穷的正整数等差数列中都有无穷的素数。不知我今后几年内能否理解这个命题的证明。

素数定理：设 $A n$ 表示不大于n的素数个数，则有 $\lim_{n\to\infty}A_n = \frac{n}{\ln{n}}$ 。很奇妙的式子，素数的分布竟与自然对数有关。

同余用模算术系统的角度来理解比较好。判断十进制数被11整除的简单规则我是第一次见到。（一加一减）

费马定理（费马小定理）：p是素数，a不是p的倍数，则 $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ 。书中给出的应该是最简洁漂亮的证明了，要记住。习题3 TODO。

二次剩余的有关理论，本书还是讲得很浅。
- p是奇素数时，若a不是p的倍数，且存在整数x满足，则称a为p的二次剩余，否则为p的非二次剩余。
  - 1,2,...,p-1中恰有 $(p - 1) / 2$ 个二次剩余。
  - 设 $q = (p - 1) / 2$ ，由费马定理有 $p | (a q - 1)(a q + 1)$ ，所以 $a^q=\pm{}1$ 。由定义及费马定理，可得a是p的二次剩余当且仅当 $a^q \equiv 1 \pmod{p}$ 。TODO
- 二次互反率，勒让德发现，高斯证明。两个素数p、q，若 $\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}$ 为偶数，则p是q的二次剩余当且仅当q是p的二次剩余；反之若奇数，则当且仅当非二次剩余。（用勒让德符号更易表达）

产生所有素毕达哥拉斯三原数的公式。

欧几里德辗转相除法及其扩展。利用它可以证明 $p \mid ab \Rightarrow p \mid a \text{ or } p \mid b$ 这个引理，进而得出算术基本定理。

欧拉函数φ(n)表示小于n且与n互素的正整数个数。可以根据n的素数分解写出φ(n)的表达式。习题即是数论中的欧拉定理TODO。

连分数。两个未知数的线性丢番都方程 $a x + b y = c$ 的整数解。

第2章数学中的数系

有理数

自然数与有理数，计数与度量。

自然数的运算法则是可以自然而然地被接受无须证明的。为了使加减乘除的运算可以无限制地进行（除去除数为0的情况），定义了负数和有理数。
- 但负数和有理数的运算法则——包括负负得正（ $( - 1)( - 1) = 1$ ）、有理数加法（ $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$ ）等——是不能被证明的。
- 因为负数、有理数这些概念本身就是人为定义的，并非某种自在之物。之所以这样定义它们的运算，是为了使得算术运算保持原来的规律不变，这里原来的规律包括交换律结合律分配律。

有理数的稠密性。

对加减乘除（被称为有理运算）具有封闭性的数系被称为域。

不可公度线段无理数和极限概念

早期希腊数学（毕达哥拉斯学派）发现了不可公度线段。这说明有理点全体虽然是处处稠密的，但不能覆盖整个数轴。如果要求在数与数轴上的点建立一一对应的话，就必须引进无理数。

数的连续统。TODO

任何有理数的十进位小数表示式是循环的，所有循环小数都是有理数。这是可以证明的。

给出无理数的定义至少有三种方法：区间套、戴特金分割、康托的方法。虽然这三种定义彼此完全等价，但我最欣赏的是戴特金分割的方法。书中说：“在哲学上，戴特金的无理数定义涉及一个更高程度的抽象”。

解析几何概述

解析几何的基本思想就是通过引进坐标，给每一个集合对象附上相应的数，从而完全刻画了这个对象。
- 常用的坐标是直角坐标，或称笛卡儿坐标，用点在坐标轴上的投影表示点。
- 易得出直线、圆、椭圆、双曲线等的方程。
- 要想得到任意两条曲线的交点，只要将它们的方程联立求解就可以了。

无限的数学分析

等势的概念用来比较两个不同集合的“元素个数”，它是用一一对应来定义的。

若可以将某个无限集的所有元素用某种方法不重不漏地排列成一个无限的序列，就被称为可数的。显然可数集与整数集等势。
- 有理数集可数。沿Z形线数。
- 全体实数集不可数。反证法，对角线。

一种更直观但少严谨的方法证明数的连续统的不可数性。
- 数轴上任意开区间中的点等势于全体实数。所以只需证0到1间的点不可数。
- 设0到1间的点可数，将这些点排成序列，将第i个点用长度为 $\frac{1}{10^i}$ 的子区间盖住。
- 这样一来0到1间长为1的区间将被长为 $\frac{1}{10^1},\frac{1}{10^2},\frac{1}{10^3},\cdots$ 的子区间完全盖住，而这些区间的总长度为 $\frac{1}{9}$ 。这在直观上是荒谬的。

若两个集合等势，则称它们有相同的基数。若集A和集B的某个子集等势，且B不等势于A的任意子集，则称B有一个比A更大的基数。
- 由于实数集不可数，则实数集有比整数集更大的基数。
- 事实上，对任意集A，可以构造有比A更大基数的集B：以A的所有子集为元素的集。证明仍然类似对角线方法。
- 正方形中的点集甚至立方体中的点集与线段上的点集是等势的，这违反直觉，但却的确可以证明。
- 若A与B的某个子集等势，B与A的某个子集等势，则A与B等势。这是理所当然的，但如何证明？{?}

反证法(indirect proof)与构造性的证明有本质区别。有一些定理，目前除反证法之外不能给出其它的证明。

罗素悖论：设不包含自身的集合为普通集，令集合C为包含所有普通集的集合，考虑C是否是普通集就得出了悖论。

数学的基础这一节目前还做不出什么笔记。TODO

复数

最早要求应用复数是为了解二次方程。将a + bi称为带有实部a和虚部b的复数。其中i是虚数单位，规定i² = − 1。
- 合适地定义复数的加减乘除法则，这样复数就形成了一个域。

复数的几何解释即复数x + yi对应平面上的点（或者向量）(x,y)。
- 复数间的加减法对应向量的加减法。
- 复数间的乘法即将向量的模相乘、幅角相加。

棣莫弗定理：(cosθ + isinθ)ⁿ = cosnθ + isinnθ。
- 用二项式定理展开可得到三角中的n倍角公式。
- 可推得 $x n = 1$ 在复数域内的n个解。正n边形。

代数基本定理：系数可为复的n次代数方程在复数域内有解。
- 高斯的博士论文中证明。
- 故可推知，上述f(x)必可分解成 $f(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)$ 的n个因式乘积的形式。
- 所以，n次代数方程恰有n个根（包括重根）。

代数数和超越数

任何一个数x，不管是实数或复数，如果满足某个形如的代数方程，其中，，a_k是整数，则这个数是代数数。
- 康托证明了所有代数数是可数的。方法如下：
  - 对每一个上述形式的整系数代数方程，指定正整数 $h=|a_n|+|a_{n-1}|+|a_{n-2}|+\cdots+|a_0|+n$ 为它的高。
  - 对每一个固定的值h，仅有有限个整系数代数方程高为h，这些方程中的每一个至多有n个不同的根，对应有限个代数数。
  - 于是可以把所有代数数排成一个序列，按照高从小到大排。
- 这就保证了不是代数数的实数是存在的，这样的数称为超越数。

柳维尔定理（证明TODO）：对于n>1的n次代数数z，不等式对充分大的分母q必定成立。即用有理数逼近非有理代数数的精度必然达不到。
- 若代数数z满足某一n次整系数代数方程而不满足任一n-1次整系数代数方程，则称z为n次代数数。
- 利用柳维尔定理，可以证明形如 $z = a_1 \cdot 10^{-1!} + a_2 \cdot 10^{-2!} + a_3 \cdot 10^{-3!} + \cdots + a_i \cdot 10^{-i!} + \cdots$ 的无限小数是超越数，其中 $a i$ 是1-9的任意数码。若这个数满足柳维尔定理，就会产生矛盾。（证明TODO）
- 柳维尔定理中q的指数n+1先后被加强到 $\frac{n}{2}+1$ 及 $2\sqrt{n}$ 。

超越数的问题向来使人着迷。但那些有趣的数中只有很少一部分能被证明为超越数。
- 希尔伯特数 $2^{\sqrt{2}}$ 。

第2章补充集合代数

本章不难。笔记从简。

本章的记号与通常的记号不太一样。
- +和·代替了通常使用的∪和∩。
- O代表空集，I代表全集，右上角加撇'代表补集。

书中提到的集合代数的规律中有对偶的性质：将⊂和⊃、O和I、+和·处处交换，仍然是一个成立的规律。

集合代数的所有定理都可以由以下三个等式推出（将它们作为公理）：
- - $A + B = B + A$
  - $(A + B) + C = A + (B + C)$
  - $(A' + B')' + (A' + B)' = A$
- 其它运算可以用A+B和A'这两种运算来定义：
  - $A \cdot B$ 即 $(A' + B')'$
  - $A \subset B$ 即 $A + B = B$

另外一种数学系统以八个数1,2,3,5,6,10,15,30给出：
- - a+b定义为a、b的最小公倍数。
  - a·b定义为a、b的最大公约数。
  - a⊂b表示a是b的因子。
  - a'表示30/a。
- 这样的定义满足以上集合代数的规律中的三个公理。这种系统被称为布尔代数。

利用集合代数和概率论，可推得：n个数码1,2,3...n以随机的顺序写下来，至少有一个数码i在第i个位置上的概率为。
- 后文将得到： $\lim_{n \rightarrow \infty} = 1 - \frac{1}{e}$

第3章几何作图数域的代数

怎样才能证明某些问题是不可解的？
- 证明某个几何作图问题是不可解的，是其中最简单的例子之一。方法是刻划出所有可作图问题的特性，然后说明某个问题不属于这个范围就容易了。
- 高斯在17岁时发现：正p边形（p为素数）可作图当且仅当p是一素“费马数”： $p=2^{2^n}+1$ 。

本章中的作图都是指尺规作图。

第1部分不可能性的证明和代数

基本几何作图

给定用单位长度1度量的任意线段a、b，用尺规作图可容易地作出：
- 和差a+b、a-b。
- 倍数ra，其中r是任意有理数。n等分线段是用了平行线。
- 积商ab、a/b。用到单位长度1，构造相似。
- 根式。方法：
  - 设线段AB=a。延长AB到C，使BC=1。
  - 以AC为直径作圆O。
  - 过B作AC的垂线交圆O于D。
  - 易知BD= $\sqrt{a}$ 即为所求。

把上面的结果作为基本方法，就可以解出很多问题。以做单位圆内接的正n边形为例。
- 计算得知，正十边形的边长为 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 。给定单位1，可以用基本方法做出这个数，故正十边形是可作图的。
- 计算得知，正2ⁿ边形的边长，其中有n-1个根号。所以至少理论上来说，正2ⁿ边形是可作图的。
  - 附带地： $n \rightarrow \infty$ 时， $2^n s_{2^n}$ 趋向于 $2π$ 。

同样的，利用代数的方法，可知阿波罗尼斯问题是可解的。
- 问题：给定三个圆，求作一个圆与这三个圆都相切。
- 设出这三个圆的方程，由条件可表示出所求圆心的半径，表达式中只含四则运算和根式。故可解。

可作图的数和数域

下面讨论本章的一般理论。
- 每一个尺规作图的步骤都仅包含四种类型：
  - 用一条直线连接两个点。
  - 求两条直线的交点。
  - 以一点为中心，定长为半径，画一个圆。
  - 求一个圆与另一个圆或直线的交点。
- 为了做理论分析，可以将整个作图过程归结到坐标系中讨论。
- 假定最初只给了一个元素，即单位长1，或者说坐标点(0,1)。下面讨论可作出的元素。
  - 利用四则运算（可称有理作图），可作出有理数域内的所有数，也即做出平面上的所有有理点。设有理数域为 $F 0$ 。
  - 利用圆规开方，可以作出某个无理数 $\sqrt{m}$ 。用有理作图，可作出所有形如 $a+b\sqrt{m}$ 的数。易证所有这些数组成了一个数域 $F 1$ ，这个域完全包含了有理数域，可称 $F 0$ 是 $F 1$ 的子域。可以作出数域 $F 1$ 内所有的数，
- 因此，从任意一个包含数k的可作图数域F出发：
  - 只用直尺绝不能使我们超出域F的范围。因为连接F内的点作出的直线 $a x + b y + c = 0$ 的系数a、b、c都在域F之内。这样的直线的交点也都在域F之内。
  - 用尺规作图可以作出形如 $a+b\sqrt{k}$ 的任意数，这里a、b属于F。易证这种数组成了一个新的数域F'，称为F的扩域。
  - 另一方面，用直尺和圆规，只能得到这种形式的数。因为连接F内的点作出的直线和以F内的点和长度为圆心和半径的圆的系数都在F内。将圆与直线或两个圆联立，得到 $A x 2 + B x + C = 0$ 形式的方程，其中系数属于F。这个二次方程的解就只能是 $a+b\sqrt{k}$ 的形式，其中a、b、k属于F。
- 所有可作图量的全体，现在可以确切描述了。
  - 从一个给定域F出发，通过作出不属于这个数域的数 $\sqrt{k}$ 来得到数域的一个扩域F'，它由所有形如 $a+b\sqrt{k}$ 的数组成，其中a、b是F内的任意数。
  - 从最初给定的一些量确定的域 $F 0$ 出发（例如若只给定单位长度则 $F 0$ 为有理数域），通过加入平方根作它的一个扩域 $F 1$ ，再做 $F 1$ 的扩域 $F 2$ ……这样重复n次得到域 $F n$ 。
  - 一个量是可作图量当且仅当它属于某个上述类型的域 $F n$ 。

如果最初的域F₀是一个由单位线段生成的有理数域，则可作图的数都是代数数。
- 域 $F 1$ 内的数，具有 $a+b\sqrt{k}$ 的形式，其中a、b、k属于 $F 0$ ，是一个有理系数二次方程的根，因此是代数数。
- 域F₂内的数，具有的形式，其中p、q、w属于F₁，是一个二次方程x² − 2px + p² = qw²的根。
  - 这个二次方程的所有系数都属于由 $\sqrt{k}$ 产生的 $F 1$ ，故可以写成 $x^2+ux+v=\sqrt{k}(rx+t)$ ，其中u、v、k、r、t属于 $F 0$ 。
  - 将 $x^2+ux+v=\sqrt{k}(rx+t)$ 两边平方，得到了一个有理系数四次方程。故 $F 2$ 中的数是一个有理系数四次方程的根，因此是代数数。
- 同理，一般的域 $F n$ 内的数，是一个系数在 $F n - 1$ 内的二次方程的根，是一个系数在 $F n - 2$ 内的四次方程的根……是一个系数为有理数的 $2 n$ 次方程的根，是一个代数数。

几个不可解的希腊问题。
- 如果一个有理系数的三次方程t³ + at² + bt + c = 0没有有理根，则它的根没有一个是由有理数域F₀出发的可作图数。证明：
  - 若x是上述方程的可作图的根，则x将属于上述一串扩域 $F_0,F_1,F_2 \ldots F_k$ 的最后一个域 $F k$ ，设k是使扩域 $F k$ 包含方程的一个根的最小数。由于x不是有理数，故k>0。
  - 故x可以表示成 $x=p+q\sqrt{w}$ 的形式，其中p、q、w是 $F k - 1$ 中的数。
  - 代入方程检验可知 $y=p-q\sqrt{w}$ 也是方程的根。
  - 由根与系数的关系，方程有第三个根 $z = - a - x - y = - a - 2 p$ 。方程的根z是 $F k - 1$ 中的一个数，这与k的最小性矛盾。
- 倍立方体问题。相当于作出 $\sqrt[3]{2}$ ， $x 3 - 1 = 0$ 的根，不是可作图的数。
- 三等分任意角。由棣莫弗公式， $\cos{20^\circ}$ 是方程 $8 x 3 - 6 x = 1$ 的根，不是可作图数。故不可能三等分 $60^\circ$ 角，更不可能三等分任意角。
- 正七边形。单位圆内接正七边形的一个顶点是 $cosθ + i s i n θ$ ，其中 $\theta=\frac{360^\circ}{7}$ 。而 $y = 2cosθ$ 满足 $y 3 + y 2 - 2 y - 1 = 0$ ，不是可作图数。
- 化圆为方。只需证明 $π$ 是超越数，后文。

第2部分作图的各种方法

第4章射影几何公理体系非欧几里得几何

第5章拓扑学

第6章函数和极限

变量和函数

定义：
- 若某数学对象是由对象组成的整个集合S中任意选取的，成这样的对象为变域或定义域S内的一个变量。
- 对于变量X的任意一个值，都存在另一个变量U的确定的值与它相联系，这是U就称作X的函数，可用一个如U=F(X)的符号表示。称X为自变量，U为因变量。
- 多项式。有理函数（多项式的比）。三角函数。

角在单位圆轴上切割出一段弧，定义这段弧的长度作为该角的弧度。

函数的图像。反函数。单调。

复合函数。

连续性。直观定义：不断裂。
- 本性的。可去的。

多元函数。

几何变换可用函数表示。
- 在平面坐标系中，往往需要用两个二元函数。
- 逆变换就是反解。

极限

无穷序列 $a n$ 的极限：
- 如果对于任意整数 $ε$ ，总可以找到一个整数N，使得对于所有的 $n \geq N$ ，有 $\left| a_n - a \right| < \epsilon$ 。则称当n趋于无穷大时，序列 $a_1,a_2,a_3,\ldots$ 有极限a，即 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = a$ 。
- 另一种有启示性的方法是：对于任意以a为中心的区间I， $a n$ 中只有有限多项不在I的内部。
- 有极限a的一个序列 $a n$ 称为收敛的，没有极限发散的。
- $\lim a_n = \infty$ 的序列也是发散的，但是很有用的定义。

单调序列原理：任何一个有上界的单调增加序列必收敛于一个极限。（实数域）
- 证明。利用实数和极限的定义。
- 可以用来定义两个无限小数的和以及乘积。
- 很多数只能由极限来定义，常常是单调有界序列的极限。
  - 所以有理数域（在这样的域中极限可能不存在）对数学的需要来说太狭窄了。

欧拉数e。
- 设 $a_n = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{n!}$ 。
- $a n$ 显然是单调增加的，又 $a_n < 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}} < 3$ 有上界。故 $a n$ 有极限。
- 定义这个极限为e。
  - 可以写成无穷级数 $e=1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{n!} + \cdots$
- 证明e是无理数：
  - 若 $e=\frac{p}{q}$ 是有理数，则在上面的无穷级数两边乘以 $q!$ ，左边是整数，右边不是整数，矛盾。

一些有关数π的式子。
- $\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}- \cdots + (-1)^n \frac{1}{2n+1} + \cdots$
- $\frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots +\frac{1}{n^2} + \cdots$
- $\frac{\pi}{2}=\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots \frac{2n}{2n-1} \frac{2n}{2n+1} \cdots$

连分数：
- 每一个有理数利用欧几里得辗转相除法都能写成连分数的形式，如： $\frac{57}{17}=3+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{5}}}$
- 二次实代数数也可以。例如 $x=\sqrt{2}-1$ 满足 $x=\frac{1}{2+x}$ ，故 $\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+_\ddots }}}}$
- 事实上，对于任意满足 $x=a+\frac{1}{x}$ 的x，有展式： $x=a+\cfrac{1}{a+\cfrac{1}{a+\cfrac{1}{a+\cfrac{1}{a+_\ddots}}}}$
- 一般定理：整系数二次方程的实根有周期性的连分数展式。
- 欧拉求出的：
  - $e=2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{6+_\ddots}}}}}}}}$
  - $e=2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+\cfrac{3}{4+\cfrac{4}{5+_\ddots}}}}}$
  - $\frac{\pi}{4}=\cfrac{1}{1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\cfrac{7^2}{2+\cfrac{9^2}{2+_\ddots}}}}}}$

连续趋近的极限

连续趋近的极限（(ε,δ)定义，柯西首先提出）：
- 如果对于任意小的正数 $ε$ ，都存在正数 $δ$ （依赖于 $ε$ ），使对于满足 $\left| x-x_0 \right| < \delta$ 且 $x \not= x_0$ 的 $x$ ，有 $\left| f(x) - a \right| < \epsilon$ 。那么就说函数 $f (x)$ 在 $x$ 趋近于值 $x 0$ 时有极限 $a$ 。记为 $\lim_{x \to x_0}f(0) = a$ 。

极限概念的评述。（暂略TODO）

证明。
- 由面积关系可得 $sin x < x < tan x$ ，即 $1<\frac{x}{\sin{x}}<\frac{1}{\cos{x}}$ ，即 $\cos{x}<\frac{\sin{x}}{x}<1$ 。
- 而 $1-\cos{x}=\frac{\sin^2{x}}{1+\cos{x}}<\sin^2{x}<x^2$ 。
- 由以上两式，得 $1-x^2<\frac{\sin{x}}{x}<1$ 。
- 故 $\frac{\sin{x}}{x}$ 与1的差小于 $x 2$ ，故选择 $|x| < \delta = \sqrt{\epsilon}$ 就能使这个差小于任意数 $ε$ 。

时的极限，定义：
- 如果对于任意小的正数 $ε$ ，都存在正数K（依赖于 $ε$ ），只要 $| x | > K$ ，就有 $\left| f(x)-a \right|<\epsilon$ 。则称 $\lim_{x\to\infty}f(x)=a$ 。
- 将上面的 $| x | > K$ 改成 $x > K$ ，是单边趋于无穷的情形 $\lim_{x\to +\infty}f(x)=a$ 。

连续性的精确定义

连续性的精确定义。函数f(x)在点x = x₀是连续的，定义为：
- $x\to x_0$ 时 $f (x)$ 的极限存在。
- 这个极限满足 $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ 。

有关连续函数的两个基本定理

布尔查诺定理：若一元连续函数 $f (x)$ 在连续的闭区间 $a \leq x \leq b$ 上， $f (a)$ 和 $f (b)$ 的值一正一负，则必定存在某个实数 $a < t < b$ 满足 $f (t) = 0$ 。

布尔查诺定理的证明。方法是把这个定理化为实数系本身的基本性质，有关区间套的戴特金-康托公理。
- 考察函数的定义区间I，，取中点。
  - 若 $f (x 0) = 0$ 则命题成立。
  - 否则，在I的两半中有一个仍有与I相同的性质： $f (x)$ 在它的两端符号相反，称这个区间为 $I 1$ 。
- 继续平分 $I 1$ ，或者在 $I 1$ 的中点 $f (x 1) = 0$ ，或者得到区间 $I 2$ 是 $I 1$ 的一半，在它的两个端点 $f (x)$ 的符号相反。
- 重复以上过程，或者在有限次平分后求得一点t，使f(t) = 0，或者得到一个区间套序列。
  - 在后一种情形，戴特金-康托公理保证在 $I$ 内有一点 $t$ 属于所有这些区间。
- 我们断定f(t) = 0，否则就与连续性的假定矛盾。
  - 若 $f(t)\not=0$ ，例如 $f (t) = ε > 0$ 。
  - 由于 $f (x)$ 是连续的，可以找到一个以 $t$ 为中点，长为 $2δ$ 的区间 $J$ ，使得 $f (x)$ 在区间 $J$ 上的所有值与 $f (t)$ 的差都小于 $ε$ ，所以 $J$ 内处处有 $f (x) > 0$ 。
  - 但 $I n$ 的长度是收敛趋近于0的，所以若 $n$ 充分大，小区间 $I n$ 必然落到 $J$ 内。它的两端点上 $f (x)$ 的值都大于0。
  - 而由 $I n$ 的选择方法， $f (x)$ 在它的两端点符号相反。矛盾。

维尔斯特拉斯极值定理：如果函数在一个区间I，上连续（包括端点a和b），那么在区间I内必然至少存在一点，在这点f(x)取得最大值M，而且有另一个点，使f(x)取得最小值m。
- 证明。QUESTION!'TODO

一些推广。
- 定理：设 $x_1,x_2,x_3,\ldots$ 是一个全部都包含在闭区间I， $a \leq x \leq b$ 内的无穷序列，一定存在它的一个子序列，以区间I内某个y为极限。
- 证明要点：将区间I分成两半，至少有一个含有原序列的无穷多项。
- 按照近代数学的典型方法，可以推广出紧致集的概念：
  - 考察变化范围为S的变量X，其中S是定义了某个“距离”概念d的一般集。
  - 可定义S的元素的序列 $X_1,X_2,X_3,\ldots$ 的极限的概念，该序列的极限是X，表示 $n\to\infty$ 时， $d(X,X_n)\to 0$ 。
  - 如果从S的任意一个元素序列中，总能抽出一个以某个S内的元素X为极限的子序列来，则称这个集S是紧致的。
- 上面的定理的意思就是：数轴上的闭区间是紧致集。紧致集概念可以认为是数轴上闭区间的推广。
- 如果变量X的变域是在任一已定义有极限概念的集S上，可以推广函数连续性的概念。函数 $u = F (X)$ ，u是实数，如果对于以X为极限的任一元素序列 $X_1,X_2,X_3,\ldots$ ，对应的数列 $F(X_1),F(X_2),F(X_3),\ldots$ 的极限是 $F (X)$ ，那么就说该函数在元素X处是连续的。
- 推广维尔斯特拉斯定理：如果u=F(X)是定义在紧致集S上的任意连续函数，那么在S中总有一个元素，使F(X)取得最大值，也有一个元素，使F(X)取得最小值。
  - 证明。TODO

布尔查诺定理的一些应用

几何上的应用。
- 如果A和B是平面内的任意两个区域，那么在平面内一定存在一条直线，改直线同时平分A和B。证明。
- 平面内的一个区域，一定存在两条相互垂直的直线把它分割为四个相等的部分。证明。

力学问题上的一个应用。车上的竿，整个过程中不倒落在底板上。竿的运动连续依赖于它的初始位置。
- 本节习题。TODO

什么是数学/笔记

From WikiTianyi

Contents

第1章自然数

第1章补充数论

第2章数学中的数系

有理数

不可公度线段无理数和极限概念

解析几何概述

无限的数学分析

复数

代数数和超越数

第2章补充集合代数

第3章几何作图数域的代数

第1部分不可能性的证明和代数

基本几何作图

可作图的数和数域

第2部分作图的各种方法

第4章射影几何公理体系非欧几里得几何

第5章拓扑学

第6章函数和极限

变量和函数

极限

连续趋近的极限

连续性的精确定义

有关连续函数的两个基本定理

布尔查诺定理的一些应用

第6章补充极限和连续的一些例题

第7章极大与极小

第8章微积分

第8章补充

第9章最新进展

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第2章补充 集合代数

第3章 几何作图 数域的代数

第1部分 不可能性的证明和代数

基本几何作图

可作图的数和数域

第2部分 作图的各种方法

第4章 射影几何 公理体系 非欧几里得几何

第5章 拓扑学

第6章 函数和极限

变量和函数

极限

连续趋近的极限

连续性的精确定义

有关连续函数的两个基本定理

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第7章 极大与极小

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第2部分作图的各种方法

第4章射影几何公理体系非欧几里得几何

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第7章极大与极小

第8章微积分

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